Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2022

En los modelos matemáticos que se utilizan para describir la evolución de una enfermedad, se llama $R_0$ al número medio de nuevas infecciones que cada persona infectada provoca en la población. Cuando este número es inferior a 1, cada individuo infectado transmite la enfermedad, de media, a menos de una persona y la enfermedad tiende a desaparecer. En cambio, si $R_0$ es mayor que 1, la enfermedad se extiende y se produce una epidemia.

Cuando se descubre una vacuna efectiva contra la enfermedad, se puede controlar la epidemia vacunando solo una proporción $p$ de la población. Es lo que se conoce como inmunidad de grupo. Efectivamente, una vez vacunada una proporción $p\in (0,1)$ de la población, la nueva $R_0$, que se llama efectiva y se denota con $R_e$, es el producto de la $R_0$ original por la proporción de individuos que no están vacunados, $1-p$. Y se consigue controlar la epidemia si la $R_e$ es inferior a 1.

a) En el caso del sarampión, se estima que $R_0=15$. Si analizamos una población con un porcentaje de individuos vacunados del 95 %, según el modelo descrito, ¿hay riesgo de que se produzca una epidemia de sarampión en esta población? [0,75 puntos]

b) En el caso concreto de la llamada gripe española de 1918, se estima que $R_0=4$. Calcule qué porcentaje de población habría hecho falta vacunar, como mínimo, para detener la epidemia de esta enfermedad. [0,75 puntos]

c) Exprese, en general, el umbral de población mínima que hay que vacunar en función del valor $R_0$ de una enfermedad. Haga un esbozo de esta función para los valores de $R_0$ entre 1 y 20. [1 punto]

Según el modelo, la epidemia queda controlada cuando la $R_0$ efectiva es menor que 1. Basta calcularla con los datos del enunciado.

$R_e=R_0(1-p)$

$p=95\mathrm{\%}=\mathrm{0,95}\Rightarrow 1-p=\mathrm{0,05}$

$R_e=15\cdot \mathrm{0,05}=\mathrm{0,75}$

$\mathrm{0,75}<1$

Como la $R_0$ efectiva es menor que 1, cada persona infectada contagia de media a menos de una persona: no hay riesgo de epidemia de sarampión en esa población.



Se impone la condición de control de la epidemia y se despeja la proporción de vacunados.

$R_e<1\Rightarrow 4(1-p)<1$

$1-p<{\displaystyle \frac{1}{4}}=\mathrm{0,25}\Rightarrow p>\mathrm{0,75}$

Habría hecho falta vacunar a más del $75$ % de la población para detener la epidemia de gripe española.



Repetimos el razonamiento del apartado anterior dejando $R_0$ indicada.

$R_0(1-p)<1\Rightarrow 1-p<{\displaystyle \frac{1}{R_0}}\Rightarrow p>1-{\displaystyle \frac{1}{R_0}}$

El umbral de vacunación es, por tanto, la función:

$p(R_0)=1-{\displaystyle \frac{1}{R_0}}$

Para representarla estudiamos su comportamiento. Es creciente, porque al aumentar $R_0$ la fracción ${\displaystyle \frac{1}{R_0}}$ disminuye y se resta menos:

$p^{\mathrm{\prime }}(R_0)={\displaystyle \frac{1}{R_0^2}}>0$

En el extremo izquierdo del intervalo y a largo plazo:

$p(1)=1-1=0$

${\lim }_{R_0\to +\mathrm{\infty }}(1-{\displaystyle \frac{1}{R_0}})=1$

La recta $p=1$ es asíntota horizontal: por muy contagiosa que sea la enfermedad nunca hace falta vacunar más del 100 % de la población, pero el umbral se acerca a ese valor.

El umbral mínimo de vacunación es $p=1-{\displaystyle \frac{1}{R_0}}$, una función creciente que arranca en 0 para $R_0=1$ y se acerca a 1 al crecer $R_0$.