Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2021

Una empresa pone a la venta un producto que distribuye en cajas. El beneficio $B$ obtenido por la empresa, expresado en miles de euros, viene dado por la expresión $B(x)=-x^2+16x-55$, donde $x>0$ es el precio de venta de cada caja, expresado en euros.

a) ¿Qué beneficio obtendrá si el precio de venta de cada caja es de 6 euros? ¿Entre qué valores hay que fijar el precio de venta de una caja para obtener beneficios? [1,25 puntos]

b) ¿A qué precio ha de vender cada caja para que el beneficio sea el mayor posible? ¿Cuál es este beneficio máximo? [1,25 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{obtendr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{venta}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{caja}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{6}\mathbf{\text{euros?}}\mathbf{\text{¿Entre}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{fijar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{venta}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{caja}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{obtener}}\mathbf{\text{beneficios?}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

El beneficio para un precio concreto es el valor de la función en ese punto.

$B(6)=-6^2+16\cdot 6-55=-36+96-55=5$

Para que haya beneficios la función ha de ser positiva, así que se resuelve la inecuación $B(x)>0$. Calculamos primero los ceros.

$-x^2+16x-55=0\Rightarrow x^2-16x+55=0$

$x={\displaystyle \frac{16\pm \sqrt{256-220}}{2}}={\displaystyle \frac{16\pm \sqrt{36}}{2}}={\displaystyle \frac{16\pm 6}{2}}$

$\{\begin{array}{l}x=5\\ x=11\end{array}$

Se hace un estudio de signos tomando un valor de prueba en cada tramo.

$\{\begin{array}{l}\text{Si }x=1,B(1)=-1+16-55=-40<0\\ \text{Si }x=6,B(6)=5>0\\ \text{Si }x=20,B(20)=-400+320-55=-135<0\end{array}$

Como el coeficiente de $x^2$ es negativo, la parábola es cóncava y solo es positiva entre sus dos raíces.



Vendiendo la caja a 6 euros el beneficio es de $5$ millares de euros, es decir, $5000$ €, y para tener beneficios hay que fijar el precio entre $5$ y $11$ euros.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿A}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{vender}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{caja}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{mayor}}\mathbf{\text{posible?}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo?}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Derivamos la función beneficio y la igualamos a cero en busca de los puntos críticos.

$B^{\mathrm{\prime }}(x)=-2x+16$

$B^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow -2x+16=0\Rightarrow x=8$

Comprobamos con la segunda derivada que se trata de un máximo.

$B^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-2\Rightarrow B^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(8)=-2<0$

$B(8)=-8^2+16\cdot 8-55=-64+128-55=9$

La empresa ha de vender cada caja a $8$ euros, y con ese precio obtiene un beneficio máximo de $9$ millares de euros, es decir, $9000$ €.