Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2020

Consideremos las funciones $f(x)=x^2+ax+b$ y $g(x)=-x^2+c$.

a) Calcule los valores de los parámetros $a$, $b$ y $c$ para que las gráficas de $f(x)$ y $g(x)$ se corten en los puntos $(-1,3)$ y $(3,-5)$. [1,25 puntos]

b) Para $c=4$, encuentre la ecuación de la recta tangente a $g(x)$ en el punto de abscisa $x=-1$. [1,25 puntos]

Que las dos gráficas se corten en un punto significa que las dos funciones pasan por él, de modo que cada punto da dos condiciones. Empezamos por $g$, que solo tiene un parámetro.

$g(-1)=3\Rightarrow -(-1{)}^2+c=3\Rightarrow -1+c=3\Rightarrow c=4$

Comprobamos que ese mismo valor sirve para el segundo punto:

$g(3)=-3^2+4=-9+4=-5$

Ahora imponemos que la parábola $f$ pase por los dos puntos.

$f(-1)=3\Rightarrow 1-a+b=3\Rightarrow -a+b=2$

$f(3)=-5\Rightarrow 9+3a+b=-5\Rightarrow 3a+b=-14$

$\{\begin{array}{l}-a+b=2\\ 3a+b=-14\end{array}$

Restamos la primera ecuación de la segunda:

$4a=-16\Rightarrow a=-4\Rightarrow b=2+a=-2$

Comprobamos los dos puntos en $f(x)=x^2-4x-2$:

$f(-1)=1+4-2=3,f(3)=9-12-2=-5$

Los parámetros valen $a=-4$, $b=-2$ y $c=4$.



Con $c=4$ la función es $g(x)=-x^2+4$. La recta tangente en un punto se escribe con la ecuación punto-pendiente, de manera que hacen falta la ordenada del punto y la pendiente, que es el valor de la derivada.

$g(-1)=-1+4=3$

$g^{\mathrm{\prime }}(x)=-2x\Rightarrow g^{\mathrm{\prime }}(-1)=2$

$y-g(-1)=g^{\mathrm{\prime }}(-1)(x-(-1))\Rightarrow y-3=2(x+1)$

$y=2x+2+3=2x+5$

La recta tangente a $g(x)$ en el punto de abscisa $x=-1$ es $y=2x+5$.