Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2024

Según un modelo, la población de una determinada ciudad, $p$ (en millones de habitantes), depende del tiempo que ha pasado, $t$ (en años), desde el comienzo del año 2000, según la relación

$p(t)={\displaystyle \frac{4}{1+3\cdot e^{-\mathrm{0,2}t}}},\text{para }t\ge 0.$

Le proporcionamos la información siguiente, que puede utilizar si lo considera oportuno:

$p^{\mathrm{\prime }}(t)={\displaystyle \frac{\mathrm{2,4}\cdot e^{-\mathrm{0,2}t}}{{(1+3\cdot e^{-\mathrm{0,2}t})}^2}},\int p(t)dt=20\cdot \ln (e^{\mathrm{0,2}t}+3)+C,$ para cualquier constante $C\in \mathbb{R}$.

a) ¿Qué población teníamos al comienzo del año 2000 (es decir, para $t=0$)? ¿En qué año tuvimos exactamente 2 millones de habitantes? [3 puntos]

b) ¿En qué intervalos aumenta la población? ¿En cuáles disminuye? [3 puntos]

c) ¿A qué tiende la población de la ciudad a largo plazo? ¿A qué tiende el ritmo de crecimiento de la población a largo plazo? [4 puntos]

La primera pregunta se contesta sustituyendo $t=0$ en la función, recordando que $e^0=1$.

$p(0)={\displaystyle \frac{4}{1+3\cdot e^{-\mathrm{0,2}\cdot 0}}}={\displaystyle \frac{4}{1+3\cdot 1}}={\displaystyle \frac{4}{4}}=1$

Al comienzo del año 2000 la ciudad tenía 1 millón de habitantes.

Para la segunda pregunta se plantea la ecuación $p(t)=2$ y se despeja $t$.

${\displaystyle \frac{4}{1+3\cdot e^{-\mathrm{0,2}t}}}=2\Rightarrow 4=2(1+3e^{-\mathrm{0,2}t})$

$2=1+3e^{-\mathrm{0,2}t}\Rightarrow 3e^{-\mathrm{0,2}t}=1\Rightarrow e^{-\mathrm{0,2}t}={\displaystyle \frac{1}{3}}$

La incógnita está en el exponente, así que se toman logaritmos neperianos en los dos miembros.

$-\mathrm{0,2}t=\ln {\displaystyle \frac{1}{3}}=-\ln 3\Rightarrow t={\displaystyle \frac{\ln 3}{\mathrm{0,2}}}=5\ln 3$

$\ln 3\approx \mathrm{1,0986}\Rightarrow t\approx \mathrm{5,49}\text{a}\tilde{\text{n}}\text{os}$

Como $t$ se cuenta desde el comienzo del año 2000, los 5,49 años caen dentro del sexto año de la serie.

La ciudad alcanzó los 2 millones de habitantes al cabo de $5\ln 3\approx \mathrm{5,49}$ años, es decir, a mediados del año 2005.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿En}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{aumenta}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{poblaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n?}}\mathbf{\text{¿En}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{les}}\mathbf{\text{disminuye?}}\mathbf{\text{[3}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La población aumenta donde la derivada es positiva y disminuye donde es negativa, así que se estudia el signo de $p^{\mathrm{\prime }}(t)$, que el enunciado nos proporciona.

$p^{\mathrm{\prime }}(t)={\displaystyle \frac{\mathrm{2,4}\cdot e^{-\mathrm{0,2}t}}{{(1+3\cdot e^{-\mathrm{0,2}t})}^2}}$

No hace falta resolver ninguna ecuación: basta mirar el numerador y el denominador por separado.

El numerador es $\mathrm{2,4}{e}^{-\mathrm{0,2}t}$, y una exponencial es siempre estrictamente positiva, luego el numerador nunca se anula ni cambia de signo.

$e^{-\mathrm{0,2}t}>0\text{para todo }t\Rightarrow \mathrm{2,4}{e}^{-\mathrm{0,2}t}>0$

El denominador es un cuadrado de una cantidad que además vale siempre más que 1, así que también es positivo.

${(1+3e^{-\mathrm{0,2}t})}^2>0$

$p^{\mathrm{\prime }}(t)={\displaystyle \frac{(+)}{(+)}}>0\text{para todo }t\ge 0$

La derivada es positiva en todo el dominio y no se anula nunca, de manera que la función no tiene ningún extremo relativo.

La población aumenta en todo el intervalo $[0,+\mathrm{\infty })$ y no disminuye en ningún momento.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿A}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tiende}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{poblaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ciudad}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{largo}}\mathbf{\text{plazo?}}\mathbf{\text{¿A}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tiende}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{ritmo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{poblaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{largo}}\mathbf{\text{plazo?}}\mathbf{\text{[4}}\mathbf{\text{puntos]}}$

A largo plazo significa hacer tender $t$ a $+\mathrm{\infty }$. La clave en los dos límites es el comportamiento de la exponencial de exponente negativo.

${\lim }_{t\to +\mathrm{\infty }}{e}^{-\mathrm{0,2}t}={\lim }_{t\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{e^{\mathrm{0,2}t}}}={\displaystyle \frac{1}{+\mathrm{\infty }}}=0$

Con eso, el límite de la población es inmediato.

${\lim }_{t\to +\mathrm{\infty }}p(t)={\lim }_{t\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{4}{1+3\cdot e^{-\mathrm{0,2}t}}}={\displaystyle \frac{4}{1+3\cdot 0}}={\displaystyle \frac{4}{1}}=4$

El ritmo de crecimiento es la derivada, y su límite se calcula igual.

${\lim }_{t\to +\mathrm{\infty }}{p}^{\mathrm{\prime }}(t)={\lim }_{t\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{\mathrm{2,4}\cdot e^{-\mathrm{0,2}t}}{{(1+3\cdot e^{-\mathrm{0,2}t})}^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{2,4}\cdot 0}{(1+0{)}^2}}={\displaystyle \frac{0}{1}}=0$

A largo plazo la población tiende a 4 millones de habitantes, valor que nunca llega a alcanzar: la recta $p=4$ es una asíntota horizontal de la gráfica. El ritmo de crecimiento tiende a 0, es decir, la población sigue creciendo siempre, pero cada vez más despacio, y se va estabilizando en ese techo de 4 millones.