Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2023

La temperatura de un objeto, $t$ (en grados centígrados), cambia a medida que pasa el tiempo, $s$ (en segundos), según el modelo siguiente:

$t(s)=45\cdot e^{-\mathrm{0,08}s}+25=45\cdot {\mathrm{0,923}}^s+25,\text{para }s\ge 0.$

(Le proporcionamos dos expresiones algebraicas válidas y equivalentes, puede utilizar la que prefiera.)

a) Haga una gráfica esquemática de la función $t(s)$. Calcule o justifique, e indique sobre la gráfica: el dominio, el comportamiento en los extremos del dominio, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los máximos y mínimos locales y globales. [7 puntos]

b) ¿A qué tenderá la temperatura del objeto cuando haya pasado mucho tiempo? [3 puntos]

El dominio lo fija el enunciado, $[0,+\mathrm{\infty })$, y tiene sentido porque $s$ es un tiempo.

El extremo izquierdo pertenece al dominio, así que se evalúa directamente recordando que $e^0=1$.

$t(0)=45\cdot e^0+25=45+25=70{}^{\circ }\text{C}$

Por la derecha hay que calcular el límite. El exponente es negativo, luego la exponencial se va a cero.

${\lim }_{s\to +\mathrm{\infty }}{e}^{-\mathrm{0,08}s}={\lim }_{s\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{e^{\mathrm{0,08}s}}}=0$

${\lim }_{s\to +\mathrm{\infty }}t(s)=45\cdot 0+25=25{}^{\circ }\text{C}$

La recta $t=25$ es una asíntota horizontal. Para la monotonía derivamos aplicando la regla de la cadena.

$t^{\mathrm{\prime }}(s)=45\cdot e^{-\mathrm{0,08}s}\cdot (-\mathrm{0,08})=-\mathrm{3,6}{e}^{-\mathrm{0,08}s}$

La exponencial es siempre estrictamente positiva, de modo que la derivada es siempre negativa y no se anula nunca.

$e^{-\mathrm{0,08}s}>0\Rightarrow t^{\mathrm{\prime }}(s)=-\mathrm{3,6}{e}^{-\mathrm{0,08}s}<0\text{para todo }s\ge 0$

La función es decreciente en todo su dominio y no crece en ningún intervalo. Al no haber puntos críticos, no hay máximos ni mínimos locales.

En cuanto a los extremos globales, la función decrece desde su valor en el extremo izquierdo, así que ahí está el máximo; y como se acerca a 25 sin llegar nunca, no hay mínimo global.

$s$ (s)	0	10	20	40	60 $t(s)$ (°C)	70	45,22	34,09	26,83	25,37

La función tiene dominio $[0,+\mathrm{\infty })$, vale 70 °C en el instante inicial y tiende a 25 °C a largo plazo; es decreciente en todo el dominio, no tiene máximos ni mínimos locales, alcanza su máximo global en $s=0$ con 70 °C y no tiene mínimo global, porque los 25 °C son un valor al que se acerca pero que no alcanza.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿A}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tender}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{temperatura}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{objeto}}\mathbf{\text{cuando}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{pasado}}\mathbf{\text{mucho}}\mathbf{\text{tiempo?}}\mathbf{\text{[3}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Es el límite que ya se ha calculado en el apartado anterior, y conviene repetir el razonamiento con la otra expresión que da el enunciado, la de base 0,923, que lleva al mismo sitio: al ser la base menor que 1, la potencia tiende a cero.

$0<\mathrm{0,923}<1\Rightarrow {\lim }_{s\to +\mathrm{\infty }}{\mathrm{0,923}}^s=0$

${\lim }_{s\to +\mathrm{\infty }}t(s)={\lim }_{s\to +\mathrm{\infty }}(45\cdot {\mathrm{0,923}}^s+25)=45\cdot 0+25=25$

Cuando haya pasado mucho tiempo la temperatura del objeto tenderá a 25 °C, que es la temperatura del ambiente en el que se enfría: el objeto se va acercando a ella cada vez más despacio, pero sin alcanzarla nunca según el modelo.