Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2021

Dada la función $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+x$, definida para todo $x\in \mathbb{R}$.

a) Encuentre $a$ y $b$ sabiendo que $f(x)$ tiene un punto crítico en el punto $x=1$ y su gráfica pasa por el punto $(3,0)$. [5 puntos]

b) Estudie el crecimiento y decrecimiento de $f(x)$ para $a=3$ y $b=3$. [5 puntos]

Cada una de las dos condiciones da una ecuación. La primera es sobre la derivada, de modo que empezamos derivando.

$f(x)=a{x}^3+b{x}^2+x\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)=3a{x}^2+2bx+1$

Un punto crítico es un punto donde la derivada se anula.

$f^{\mathrm{\prime }}(1)=0\Rightarrow 3a+2b+1=0$

La segunda condición es que la gráfica pase por $(3,0)$, es decir, que $f(3)=0$.

$f(3)=a\cdot 27+b\cdot 9+3=0\Rightarrow 27a+9b+3=0$

Dividimos esta última entre 3 para simplificar y reunimos las dos ecuaciones en un sistema.

$\{\begin{array}{l}3a+2b=-1\\ 9a+3b=-1\end{array}$

Multiplicamos la primera por 3 y la segunda por 2, y restamos.

$\{\begin{array}{l}9a+6b=-3\\ 18a+6b=-2\end{array}\Rightarrow (18a+6b)-(9a+6b)=-2-(-3)$

$9a=1\Rightarrow a={\displaystyle \frac{1}{9}}$

$3\cdot {\displaystyle \frac{1}{9}}+2b=-1\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{3}}+2b=-1\Rightarrow 2b=-{\displaystyle \frac{4}{3}}\Rightarrow b=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$

Comprobamos las dos condiciones con esos valores.

$f^{\mathrm{\prime }}(1)=3\cdot {\displaystyle \frac{1}{9}}+2(-{\displaystyle \frac{2}{3}})+1={\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{4}{3}}+1=0$

$f(3)={\displaystyle \frac{27}{9}}-{\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot 9+3=3-6+3=0$

Los coeficientes son $a={\displaystyle \frac{1}{9}}$ y $b=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$.



Con esos coeficientes la función y su derivada son

$f(x)=3x^3+3x^2+x\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)=9x^2+6x+1$

Buscamos los puntos críticos resolviendo $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0$.

$9x^2+6x+1=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{-6\pm \sqrt{36-36}}{18}}={\displaystyle \frac{-6\pm 0}{18}}=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$

El discriminante es cero, así que hay una única raíz, doble. Eso significa que la derivada es un cuadrado perfecto.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=9x^2+6x+1=(3x+1{)}^2$

Un cuadrado nunca es negativo, y solo vale cero en $x=-1\mathrm{/}3$.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=(3x+1{)}^2\ge 0\text{para todo }x\in \mathbb{R}$

Lo comprobamos con dos valores de prueba, uno a cada lado del punto crítico.

$\text{Si }x=-1,f^{\mathrm{\prime }}(-1)=(-3+1{)}^2=4>0$

$\text{Si }x=0,f^{\mathrm{\prime }}(0)=(0+1{)}^2=1>0$



La función es creciente en todo $\mathbb{R}$ y no decrece en ningún intervalo. En $x=-1\mathrm{/}3$ la derivada se anula, pero no hay ni máximo ni mínimo, porque la derivada no cambia de signo: es un punto de inflexión con tangente horizontal.