Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2020

De una función $y=f(x)$ sabemos que su derivada es $f^{\mathrm{\prime }}(x)=2x^3-18x$.

a) Determine los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función $y=f(x)$. [5 puntos]

b) Determine las abscisas de sus extremos relativos y clasifíquelos. [5 puntos]

Aunque no se conozca $f$, la monotonía se decide con el signo de su derivada, que sí se da. Empezamos factorizándola para poder estudiar ese signo.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2x^3-18x=2x(x^2-9)=2x(x-3)(x+3)$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=0\\ x=3\\ x=-3\end{array}$

Los tres puntos críticos parten la recta real en cuatro tramos. Hacemos un estudio de signos con un valor de prueba en cada uno.

$\text{Si }x=-4,f^{\mathrm{\prime }}(-4)=2(-4)(-7)(-1)=-56<0$

$\text{Si }x=-1,f^{\mathrm{\prime }}(-1)=2(-1)(-4)(2)=16>0$

$\text{Si }x=1,f^{\mathrm{\prime }}(1)=2(1)(-2)(4)=-16<0$

$\text{Si }x=4,f^{\mathrm{\prime }}(4)=2(4)(1)(7)=56>0$



La función $f$ es creciente en $(-3,0)\cup (3,+\mathrm{\infty })$ y decreciente en $(-\mathrm{\infty },-3)\cup (0,3)$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{abscisas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{extremos}}\mathbf{\text{relativos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{clasif}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{quelos.}}\mathbf{\text{[5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Los extremos relativos están en los puntos críticos, y se clasifican mirando cómo cambia el signo de la derivada al pasar por ellos, que es lo que ya se ha hecho en el apartado a).

En $x=-3$ la derivada pasa de negativa a positiva, así que la función pasa de decrecer a crecer: hay un mínimo relativo.

En $x=0$ la derivada pasa de positiva a negativa, así que la función pasa de crecer a decrecer: hay un máximo relativo.

En $x=3$ la derivada vuelve a pasar de negativa a positiva: hay otro mínimo relativo.

Se puede confirmar con la segunda derivada.

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=6x^2-18$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(-3)=54-18=36>0\Rightarrow \text{m}\acute{\text{ı}}\text{nimo en }x=-3$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(0)=-18<0\Rightarrow \text{m}\acute{\text{a}}\text{ximo en }x=0$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(3)=54-18=36>0\Rightarrow \text{m}\acute{\text{ı}}\text{nimo en }x=3$

La función presenta mínimos relativos en $x=-3$ y en $x=3$, y un máximo relativo en $x=0$. No se pueden dar las ordenadas de esos extremos, porque el enunciado solo proporciona la derivada y $f$ queda determinada salvo una constante.