Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2023

Consideremos el peso de un adulto, $p$ (en kg), y su metabolismo basal, $m$ (en vatios). Un investigador nos proporciona el modelo siguiente:

$p(m)=\mathrm{0,1}\cdot m^{\mathrm{1,5}},m\in (0,+\mathrm{\infty })\mathrm{.}$

a) Haga una gráfica esquemática de la función $p(m)$, indicando el dominio, el comportamiento en los extremos del dominio, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los máximos y mínimos locales. [7 puntos]

b) Encuentre la función que da el metabolismo basal en función del peso, $m(p)$ (es decir, aísle la variable $m$). [3 puntos]

El enunciado fija el dominio, $m\in (0,+\mathrm{\infty })$, que además es el único con sentido: el metabolismo basal es una cantidad positiva. Conviene reescribir la potencia con la raíz para ver mejor con qué se trabaja.

$p(m)=\mathrm{0,1}\cdot m^{\mathrm{1,5}}=\mathrm{0,1}\cdot m^{3\mathrm{/}2}=\mathrm{0,1}\sqrt{m^3}$

Estudiamos los dos extremos del dominio. Ninguno pertenece a él, así que en los dos hay que calcular el límite.

${\lim }_{m\to 0^{+}}\mathrm{0,1}{m}^{3\mathrm{/}2}=\mathrm{0,1}\cdot 0=0$

${\lim }_{m\to +\mathrm{\infty }}\mathrm{0,1}{m}^{3\mathrm{/}2}=+\mathrm{\infty }$

No hay asíntota horizontal. Para la monotonía derivamos la potencia.

$p^{\mathrm{\prime }}(m)=\mathrm{0,1}\cdot {\displaystyle \frac{3}{2}}{m}^{1\mathrm{/}2}=\mathrm{0,15}\sqrt{m}$

La derivada no se anula en ningún punto del dominio, y para $m>0$ la raíz es positiva.

$p^{\mathrm{\prime }}(m)=\mathrm{0,15}\sqrt{m}>0\text{para todo }m>0$

La función es creciente en todo su dominio y no decrece en ningún intervalo. Al no haber puntos críticos, no hay máximos ni mínimos locales.

Para dibujar tomamos algunos valores cómodos, los de cuadrados perfectos, que dan resultados exactos.

$m$ (W)	0	100	225	400	625 $p(m)$ (kg)	0	100	337,5	800	1562,5

$p(100)=\mathrm{0,1}\cdot {100}^{3\mathrm{/}2}=\mathrm{0,1}\cdot 1000=100$

$p(400)=\mathrm{0,1}\cdot {400}^{3\mathrm{/}2}=\mathrm{0,1}\cdot 8000=800$

La función tiene dominio $(0,+\mathrm{\infty })$, tiende a 0 por la izquierda y a $+\mathrm{\infty }$ por la derecha, es creciente en todo el dominio y no presenta máximos ni mínimos locales. Su forma es la de una potencia de exponente mayor que 1: sale del origen y se va curvando hacia arriba.





Partimos de la relación del enunciado y despejamos $m$ paso a paso.

$p=\mathrm{0,1}\cdot m^{3\mathrm{/}2}\Rightarrow m^{3\mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{p}{\mathrm{0,1}}}=10p$

La incógnita está elevada a $3\mathrm{/}2$, de modo que para aislarla se elevan los dos miembros al exponente inverso, $2\mathrm{/}3$.

${\left(m^{3\mathrm{/}2}\right)}^{2\mathrm{/}3}=(10p{)}^{2\mathrm{/}3}\Rightarrow m=(10p{)}^{2\mathrm{/}3}$

Se puede dejar así o desarrollar la potencia del producto.

$m(p)=(10p{)}^{2\mathrm{/}3}={10}^{2\mathrm{/}3}\cdot p^{2\mathrm{/}3}\approx \mathrm{4,64}\sqrt[3]{p^2}$

Comprobamos con un valor del apartado a): a 100 kg de peso le correspondían 100 W.

$m(100)=(10\cdot 100{)}^{2\mathrm{/}3}={1000}^{2\mathrm{/}3}={\left({10}^3\right)}^{2\mathrm{/}3}={10}^2=100$

La función inversa es $m(p)=(10p{)}^{2\mathrm{/}3}\approx \mathrm{4,64}\sqrt[3]{p^2}$, y su dominio es también $(0,+\mathrm{\infty })$.