Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2023

Considere las funciones:

$f(x)=(x+2{)}^3,g(x)=x^3+6x^2+12x\mathrm{.}$

a) Justifique, calculando, que $f^{\mathrm{\prime }}(x)=g^{\mathrm{\prime }}(x)$. [4 puntos]

b) ¿Es cierto que $f(x)=g(x)$? [3 puntos]

c) Calcule ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}}$. [3 puntos]

Derivamos cada función y comparamos los resultados. Para $f$ se aplica la regla de la cadena a la potencia de un binomio.

$f(x)=(x+2{)}^3\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)=3(x+2{)}^2\cdot 1$

Desarrollamos el cuadrado para poder comparar.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3(x^2+4x+4)=3x^2+12x+12$

Ahora $g$, que ya está desarrollada y se deriva término a término.

$g(x)=x^3+6x^2+12x\Rightarrow g^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2+12x+12$

Las dos derivadas son el mismo polinomio.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2+12x+12=g^{\mathrm{\prime }}(x)$

Queda justificado: las dos funciones tienen exactamente la misma derivada.



Tener la misma derivada no obliga a ser la misma función: dos primitivas de una misma función se diferencian en una constante. Lo comprobamos desarrollando el cubo del binomio.

$f(x)=(x+2{)}^3=x^3+3x^2\cdot 2+3x\cdot 2^2+2^3$

$f(x)=x^3+6x^2+12x+8$

Restamos las dos funciones.

$f(x)-g(x)=(x^3+6x^2+12x+8)-(x^3+6x^2+12x)=8$

No es cierto que $f(x)=g(x)$: se diferencian en la constante 8, es decir, $f(x)=g(x)+8$ para todo $x$. Gráficamente, la curva de $f$ es la de $g$ desplazada 8 unidades hacia arriba, y por eso tienen la misma pendiente en cada abscisa, que es lo que dice el apartado a).





Sustituyendo directamente aparece una indeterminación, porque los dos polinomios tienden a infinito.

${\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}={\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x^3+6x^2+12x+8}{x^3+6x^2+12x}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}}$

Se trata de un cociente de polinomios del mismo grado, así que el límite es el cociente de los coeficientes principales. Se ve dividiendo numerador y denominador por $x^3$.

${\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x^3+6x^2+12x+8}{x^3+6x^2+12x}}={\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1+{\displaystyle \frac{6}{x}}+{\displaystyle \frac{12}{x^2}}+{\displaystyle \frac{8}{x^3}}}{1+{\displaystyle \frac{6}{x}}+{\displaystyle \frac{12}{x^2}}}}$

$={\displaystyle \frac{1+0+0+0}{1+0+0}}={\displaystyle \frac{1}{1}}=1$

El límite vale 1. Es lo esperable a la vista del apartado b): la diferencia entre las dos funciones es siempre 8, una cantidad fija que se vuelve insignificante frente a valores de la función que crecen sin tope.