Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2024

Considere la función $f(x)=\sqrt{x}$.

a) Haga una gráfica esquemática de la función $f(x)$ e indique el dominio, el comportamiento en los extremos del dominio, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los máximos y mínimos locales.

Indicación: para facilitar el apartado b), el eje horizontal debería llegar hasta $x=30$. [7 puntos]

b) Trace, sobre la gráfica, la recta tangente a $f(x)$ en el punto $x=25$ e indique su pendiente. [3 puntos]

Se sigue el orden habitual: dominio, extremos del dominio, monotonía y, con todo ello, la representación gráfica.

El dominio de una raíz cuadrada lo forman los valores que no hacen negativo el radicando.

$x\ge 0\Rightarrow \text{Dom }f(x)=[0,+\mathrm{\infty })$

En el extremo izquierdo, $x=0$, la función está definida y se evalúa directamente.

$f(0)=\sqrt{0}=0$

Por la derecha el dominio no está acotado, así que hay que calcular el límite. La raíz cuadrada crece sin tope, aunque cada vez más despacio.

${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}\sqrt{x}=+\mathrm{\infty }$

Por tanto la función no tiene asíntota horizontal. Tampoco tiene asíntota oblicua, porque el cociente $\sqrt{x}\mathrm{/}x=1\mathrm{/}\sqrt{x}$ tiende a 0.

Para la monotonía derivamos.

$f(x)=\sqrt{x}=x^{1\mathrm{/}2}\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^{-1\mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}$

La derivada no se anula nunca, y para todo $x>0$ tanto el numerador como el denominador son positivos.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}>0\text{para todo }x>0$

La función es creciente en todo su dominio, $(0,+\mathrm{\infty })$, y no decrece en ningún intervalo. Al no haber puntos críticos, no hay máximos ni mínimos locales en el interior del dominio.

En $x=0$ la derivada no existe, porque el denominador se anula: la gráfica llega al origen con tangente vertical.

${\lim }_{x\to 0^{+}}{f}^{\mathrm{\prime }}(x)={\lim }_{x\to 0^{+}}{\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}=+\mathrm{\infty }$

Para dibujar tomamos algunos puntos de cuadrados perfectos, que son los que salen exactos, y llevamos el eje horizontal hasta $x=30$ como indica el enunciado.

$x$	0	4	9	16	25	30 $f(x)=\sqrt{x}$	0	2	3	4	5	5,48

La función tiene dominio $[0,+\mathrm{\infty })$, vale 0 en el extremo izquierdo y tiende a $+\mathrm{\infty }$ por la derecha, es creciente en todo el dominio y no presenta máximos ni mínimos locales. En $x=0$ alcanza su mínimo absoluto, que vale 0.





La pendiente de la recta tangente en un punto es el valor de la derivada en ese punto.

$m=f^{\mathrm{\prime }}(25)={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{25}}}={\displaystyle \frac{1}{2\cdot 5}}={\displaystyle \frac{1}{10}}=\mathrm{0,1}$

El punto de tangencia se obtiene evaluando la función.

$f(25)=\sqrt{25}=5\Rightarrow (25,5)$

Escribimos la recta en la forma punto-pendiente y la desarrollamos.

$y-5={\displaystyle \frac{1}{10}}(x-25)\Rightarrow y=5+{\displaystyle \frac{x}{10}}-{\displaystyle \frac{25}{10}}$

$y={\displaystyle \frac{x}{10}}+{\displaystyle \frac{5}{2}}=\mathrm{0,1}x+\mathrm{2,5}$

La pendiente de la recta tangente en $x=25$ vale $\mathrm{0,1}$. Es positiva y pequeña, coherente con que la función crezca cada vez más despacio; la recta corta el eje de ordenadas en 2,5.