Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2025

En psicología, la función siguiente modela cómo las personas valoran las recompensas en un instante de tiempo futuro, $t$:

$V(t)={\displaystyle \frac{1}{(1+r{)}^t}},t\in [0,+\mathrm{\infty }),$

donde $r$ es una constante positiva y $t$ se mide en días.

a) Si $r=\mathrm{0,01}$, ¿cuánto vale la función $V(t)$ en $t=50$? [1 punto]

b) ¿Para qué valor de $r$ la función $V(t)$ vale 0,75 en $t=50$? [1 punto]

c) Si $r=\mathrm{0,03}$, ¿a qué valor tiende la valoración de una recompensa en un futuro muy lejano? [1 punto]

Basta sustituir los dos datos en la expresión de la función.

$V(t)={\displaystyle \frac{1}{(1+r{)}^t}}\Rightarrow V(50)={\displaystyle \frac{1}{(1+\mathrm{0,01}{)}^{50}}}={\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{1,01}}^{50}}}$

${\mathrm{1,01}}^{50}\approx \mathrm{1,6446}$

$V(50)={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{1,6446}}}\approx \mathrm{0,6080}$

Con $r=\mathrm{0,01}$, una recompensa que se recibirá dentro de 50 días se valora en un 60,80 % de lo que se valoraría si se recibiera hoy mismo.



Ahora la incógnita es $r$. Se plantea la ecuación $V(50)=\mathrm{0,75}$ y se despeja.

${\displaystyle \frac{1}{(1+r{)}^{50}}}=\mathrm{0,75}\Rightarrow (1+r{)}^{50}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,75}}}={\displaystyle \frac{4}{3}}$

La incógnita está en la base de una potencia de exponente conocido, de modo que se extrae la raíz de índice 50. Equivale a tomar logaritmos, que es como se opera con más comodidad.

$\ln (1+r{)}^{50}=\ln {\displaystyle \frac{4}{3}}\Rightarrow 50\cdot \ln (1+r)=\ln {\displaystyle \frac{4}{3}}$

$\ln {\displaystyle \frac{4}{3}}\approx \mathrm{0,2877}\Rightarrow \ln (1+r)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,2877}}{50}}\approx \mathrm{0,005754}$

$1+r=e^{\mathrm{0,005754}}\approx \mathrm{1,005770}\Rightarrow r\approx \mathrm{0,00577}$

Comprobamos el resultado sustituyendo en la función.

$V(50)={\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{1,00577}}^{50}}}\approx {\displaystyle \frac{1}{\mathrm{1,3335}}}\approx \mathrm{0,7499}$

La constante debe valer $r\approx \mathrm{0,00577}$, es decir, un 0,577 % diario.



Un futuro muy lejano significa hacer tender $t$ a $+\mathrm{\infty }$, así que hay que calcular el límite de la función.

$V(t)={\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{1,03}}^t}}$

La base $\mathrm{1,03}$ es mayor que 1, luego la potencia crece sin tope y el denominador se hace arbitrariamente grande.

${\lim }_{t\to +\mathrm{\infty }}{\mathrm{1,03}}^t=+\mathrm{\infty }$

${\lim }_{t\to +\mathrm{\infty }}V(t)={\lim }_{t\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{1,03}}^t}}={\displaystyle \frac{1}{+\mathrm{\infty }}}=0$

La recta $V=0$ es una asíntota horizontal de la función, y se aprecia ya en valores nada extremos: a 50 días de distancia la valoración ha caído a $1\mathrm{/}{\mathrm{1,03}}^{50}\approx \mathrm{0,2281}$.

Con $r=\mathrm{0,03}$, la valoración de una recompensa situada en un futuro muy lejano tiende a 0: dejaría de tener valor para quien la ha de recibir.