Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2025

Considere la función $f(x)=x^3-3x^2$, para $x\in [-1,\mathrm{\infty })$.

a) Haga una gráfica esquemática de la función $f(x)$. Calcule o justifique e indique sobre la gráfica el valor de la función en los extremos del dominio, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los máximos y mínimos relativos y absolutos. [2 puntos]

b) Sobre la misma gráfica, trace la recta tangente a la función en el punto $x=1$. ¿Cuál es el valor de su pendiente? [1 punto]

Se sigue el orden habitual: extremos del dominio, puntos de corte, monotonía y, con todo ello, la representación gráfica.

El dominio está dado en el enunciado, $[-1,\mathrm{\infty })$. El extremo izquierdo es un punto del dominio y ahí la función se evalúa directamente.

$f(-1)=(-1{)}^3-3(-1{)}^2=-1-3=-4$

Por la derecha el dominio no está acotado, así que hay que calcular el límite. En un polinomio manda el término de mayor grado.

${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}(x^3-3x^2)={\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{x}^3(1-{\displaystyle \frac{3}{x}})=+\mathrm{\infty }$

Los puntos de corte con el eje de abscisas se obtienen sacando factor común.

$f(x)=0\Rightarrow x^3-3x^2=0\Rightarrow x^2(x-3)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=0\\ x=3\end{array}$

Para estudiar la monotonía derivamos la función y buscamos los puntos críticos.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 3x(x-2)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=0\\ x=2\end{array}$

Los dos puntos críticos pertenecen al dominio y lo parten en tres tramos. Se hace un estudio de signos de la derivada tomando un valor de prueba en cada uno.

$\text{Si }x=-\mathrm{0,5},f^{\mathrm{\prime }}(-\mathrm{0,5})=3(-\mathrm{0,5})(-\mathrm{2,5})=\mathrm{3,75}>0$

$\text{Si }x=1,f^{\mathrm{\prime }}(1)=3\cdot 1\cdot (-1)=-3<0$

$\text{Si }x=3,f^{\mathrm{\prime }}(3)=3\cdot 3\cdot 1=9>0$



Por tanto, la función crece en $[-1,0)$, decrece en $(0,2)$ y vuelve a crecer en $(2,+\mathrm{\infty })$.

En $x=0$ la función pasa de crecer a decrecer, luego hay un máximo relativo, y en $x=2$ pasa de decrecer a crecer, luego hay un mínimo relativo. Calculamos las ordenadas.

$f(0)=0^3-3\cdot 0^2=0$

$f(2)=2^3-3\cdot 2^2=8-12=-4$

El máximo relativo es el punto $(0,0)$ y el mínimo relativo es el punto $(2,-4)$.

Para los extremos absolutos se comparan los valores de la función en los puntos críticos y en el extremo del dominio, y se tiene en cuenta el límite en el infinito.

$f(-1)=-4,f(0)=0,f(2)=-4,{\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}f(x)=+\mathrm{\infty }$

El menor de esos valores es $-4$, y se alcanza en dos puntos distintos: en el extremo del dominio $x=-1$ y en el mínimo relativo $x=2$. Como la función tiende a $+\mathrm{\infty }$, no hay máximo absoluto.

El mínimo absoluto vale $-4$ y se alcanza en $x=-1$ y en $x=2$; la función no tiene máximo absoluto, y el máximo relativo del punto $(0,0)$ no lo es porque la función supera ese valor a partir de $x=3$.





La pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es el valor de la derivada en ese punto.

$m=f^{\mathrm{\prime }}(1)=3\cdot 1^2-6\cdot 1=3-6=-3$

Para trazarla hace falta también el punto de tangencia.

$f(1)=1^3-3\cdot 1^2=1-3=-2$

Escribimos la recta en la forma punto-pendiente y la desarrollamos.

$y-f(1)=f^{\mathrm{\prime }}(1)(x-1)\Rightarrow y+2=-3(x-1)$

$y=-3x+3-2\Rightarrow y=-3x+1$

La pendiente de la recta tangente en $x=1$ vale $-3$. Es negativa, como tenía que ser, porque $x=1$ está en el tramo en el que la función decrece.