Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2021

Considere la función $f(x)=p{x}^3-4x^2+7px-18$.

a) Calcule cuál ha de ser el valor del parámetro $p$ para que las rectas tangentes a la curva en los puntos de abscisas $x=1$ y $x=3$ sean paralelas. [1,25 puntos]

b) Escriba la ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa $x=3$ para el valor de $p=2$. [1,25 puntos]

La pendiente de la recta tangente en un punto es el valor de la derivada en ese punto, y dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente. Así pues, hay que imponer $f^{\mathrm{\prime }}(1)=f^{\mathrm{\prime }}(3)$.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3p{x}^2-8x+7p$

$f^{\mathrm{\prime }}(1)=3p-8+7p=10p-8$

$f^{\mathrm{\prime }}(3)=27p-24+7p=34p-24$

$10p-8=34p-24$

$16=24p\Rightarrow p={\displaystyle \frac{16}{24}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$

Las dos tangentes son paralelas si el parámetro vale $p={\displaystyle \frac{2}{3}}$.



Con $p=2$ la función y su derivada son:

$f(x)=2x^3-4x^2+14x-18$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=6x^2-8x+14$

La recta tangente en un punto se escribe con la ecuación punto-pendiente, así que hacen falta la ordenada del punto y la pendiente.

$f(3)=2\cdot 27-4\cdot 9+14\cdot 3-18=54-36+42-18=42$

$f^{\mathrm{\prime }}(3)=6\cdot 9-8\cdot 3+14=54-24+14=44$

$y-f(3)=f^{\mathrm{\prime }}(3)(x-3)\Rightarrow y-42=44(x-3)$

$y=44x-132+42=44x-90$

La recta tangente a la curva en el punto de abscisa $x=3$ es $y=44x-90$.