Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2020

Un fabricante tuvo un producto a la venta durante diez años. Durante este tiempo, el precio del producto $P$, en euros, estuvo relacionado con el tiempo que hacía que estaba a la venta $t$, expresado en años, siguiendo la función siguiente:

$P(t)=\{\begin{array}{ll}5(t+1{)}^2-5& \text{si }0\le t\le 2\\ -4t+48& \text{si }2<t\le 10\end{array}$

a) Indique los intervalos de crecimiento y de decrecimiento del precio del producto durante estos diez años. [1,25 puntos]

b) Encuentre el precio máximo que alcanzó el producto durante el tiempo que estuvo a la venta y calcule la tasa de variación media del precio del producto durante los últimos cinco años que estuvo a la venta. [1,25 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Indique}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{decrecimiento}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{producto}}\mathbf{\text{durante}}\mathbf{\text{estos}}\mathbf{\text{diez}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Al ser una función definida a trozos se estudia cada tramo por separado con el signo de su derivada.

En el primer tramo, para $0\le t\le 2$:

$P(t)=5(t+1{)}^2-5\Rightarrow P^{\mathrm{\prime }}(t)=10(t+1)$

Como $t\ge 0$, se cumple $t+1>0$ y por tanto $P^{\mathrm{\prime }}(t)>0$: el precio crece.

En el segundo tramo, para $2<t\le 10$:

$P(t)=-4t+48\Rightarrow P^{\mathrm{\prime }}(t)=-4<0$

La derivada es una constante negativa, de modo que el precio decrece.

El precio del producto crece en el intervalo $[0,2]$ y decrece en el intervalo $(2,10]$.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Encuentre}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{alcanz}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{producto}}\mathbf{\text{durante}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{estuvo}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{venta}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{tasa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{variaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{producto}}\mathbf{\text{durante}}\mathbf{\text{los}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{ltimos}}\mathbf{\text{cinco}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{estuvo}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{venta.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Por el apartado anterior el precio sube hasta $t=2$ y baja después, así que el máximo está en el punto de empalme. Comprobamos que la función es continua allí evaluando los dos trozos.

$P(2)=5(2+1{)}^2-5=45-5=40$

$-4\cdot 2+48=40$

Los dos trozos dan el mismo valor, de modo que el precio máximo es de 40 € y se alcanza a los 2 años. Comparamos con los extremos del intervalo para confirmarlo:

$P(0)=5\cdot 1-5=0,P(10)=-40+48=8$

Los últimos cinco años a la venta van de $t=5$ a $t=10$, todos dentro del segundo tramo.

$P(5)=-20+48=28$

$\text{TVM}[5,10]={\displaystyle \frac{P(10)-P(5)}{10-5}}={\displaystyle \frac{8-28}{5}}=-4$

El precio máximo del producto fue de $40$ € a los 2 años de estar a la venta, y durante los últimos cinco años el precio bajó, de media, $4$ € por año.