Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2021

Una fábrica estima que el beneficio mensual, en miles de euros, por cada tonelada de confeti vendida viene dado por la función $f(x)={\displaystyle \frac{-\mathrm{0,2}{x}^2+5x-20}{x}}$, donde $x$ representa el número de toneladas de confeti vendidas.

a) Determine en qué intervalo de valores se ha de encontrar la variable $x$ para que la fábrica no tenga pérdidas. [1,25 puntos]

b) Calcule la cantidad de toneladas de confeti que proporciona el beneficio máximo y diga cuál es este beneficio. [1,25 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{encontrar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{variable}}\mathit{x}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{f}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{brica}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{tenga}}\mathbf{\text{p}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rdidas.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

La variable representa toneladas vendidas, de modo que el dominio del problema es $x>0$. No tener pérdidas significa que el beneficio no sea negativo, así que se resuelve la inecuación $f(x)\ge 0$.

${\displaystyle \frac{-\mathrm{0,2}{x}^2+5x-20}{x}}\ge 0$

Como el denominador es positivo en todo el dominio, el signo del cociente es el del numerador. Calculamos sus ceros.

$-\mathrm{0,2}{x}^2+5x-20=0\Rightarrow x^2-25x+100=0$

$x={\displaystyle \frac{25\pm \sqrt{625-400}}{2}}={\displaystyle \frac{25\pm \sqrt{225}}{2}}={\displaystyle \frac{25\pm 15}{2}}$

$\{\begin{array}{l}x=5\\ x=20\end{array}$

Se hace un estudio de signos tomando un valor de prueba en cada tramo.

$\{\begin{array}{l}\text{Si }x=1,f(1)={\displaystyle \frac{-\mathrm{0,2}+5-20}{1}}=-\mathrm{15,2}<0\\ \text{Si }x=10,f(10)={\displaystyle \frac{-20+50-20}{10}}=1>0\\ \text{Si }x=25,f(25)={\displaystyle \frac{-125+125-20}{25}}=-\mathrm{0,8}<0\end{array}$



La fábrica no tiene pérdidas si vende entre $5$ y $20$ toneladas de confeti, es decir, para $x\in [5,20]$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cantidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{toneladas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confeti}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{proporciona}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{diga}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{beneficio.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Antes de derivar conviene repartir el numerador entre el denominador, porque así la función queda escrita como una suma de potencias y se deriva mucho más cómodamente.

$f(x)={\displaystyle \frac{-\mathrm{0,2}{x}^2}{x}}+{\displaystyle \frac{5x}{x}}-{\displaystyle \frac{20}{x}}=-\mathrm{0,2}x+5-20x^{-1}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-\mathrm{0,2}+{\displaystyle \frac{20}{x^2}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow {\displaystyle \frac{20}{x^2}}=\mathrm{0,2}\Rightarrow x^2=100\Rightarrow x=\pm 10$

Se descarta la solución negativa porque no se pueden vender toneladas negativas de confeti.

Comprobamos con la segunda derivada que se trata de un máximo.

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-{\displaystyle \frac{40}{x^3}}\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(10)=-{\displaystyle \frac{40}{1000}}=-\mathrm{0,04}<0$

$f(10)={\displaystyle \frac{-\mathrm{0,2}\cdot 100+50-20}{10}}={\displaystyle \frac{10}{10}}=1$

El beneficio es máximo vendiendo $10$ toneladas de confeti, y ese beneficio máximo es de $1$ millar de euros, es decir, $1000$ €.