Examen de Matemáticas CCSS de Cataluña 2021 (convocatoria ordinaria)

Una fábrica estima que el beneficio mensual, en miles de euros, por cada tonelada de confeti vendida viene dado por la función $f(x)={\displaystyle \frac{-\mathrm{0,2}{x}^2+5x-20}{x}}$, donde $x$ representa el número de toneladas de confeti vendidas.

a) Determine en qué intervalo de valores se ha de encontrar la variable $x$ para que la fábrica no tenga pérdidas. [1,25 puntos]

b) Calcule la cantidad de toneladas de confeti que proporciona el beneficio máximo y diga cuál es este beneficio. [1,25 puntos]

En una pastelería quieren preparar cajitas de panellets para obsequiar a los mejores clientes durante la semana de la Castanyada. En total, disponen de 120 panellets de piñones y de 150 panellets de coco. Quieren preparar cajitas de dos tipos: las del primer tipo contendrán 3 panellets de piñones y 2 de coco, y las del segundo tipo contendrán 4 panellets de piñones y 6 de coco. La idea de la pastelería es preparar el número máximo de cajitas posible con los panellets de que disponen, teniendo en cuenta que, como mínimo, han de preparar 9 cajitas de cada tipo.

a) Determine la función objetivo y las restricciones. Dibuje la región factible. [1,25 puntos]

b) Determine cuántas cajitas hay que preparar de cada tipo para hacer el máximo número de obsequios posible. Indique si, en este caso, se utilizarán todos los panellets disponibles y, si no es así, cuántos sobrarán de cada tipo. [1,25 puntos]

En una fiesta familiar se han reunido 20 personas. Si contamos el total de hombres y mujeres juntos, observamos que hay el triple que de niños. Además, sabemos que, si hubiese asistido una mujer más, el número de mujeres habría sido igual que el número de hombres.

a) Plantee un sistema de ecuaciones para averiguar cuántos hombres, cuántas mujeres y cuántos niños asistieron a la fiesta. [0,75 puntos]

b) Resuelva el sistema del apartado anterior e interprete el resultado. [1,75 puntos]

Un granjero quiere construir un corral rectangular para sus conejos. Sabemos que solo dispone de 40 m lineales de valla metálica.

a) Llamamos $x$ a la anchura del corral e $y$ a su longitud. Escriba la función que permite calcular el área del corral teniendo en cuenta solo la anchura $x$. [1,25 puntos]

b) Calcule en qué punto alcanza su máximo la función que ha encontrado en el apartado anterior. Deduzca cuál ha de ser la anchura $x$ y cuál la longitud $y$ para que el corral tenga el área máxima. ¿Cuál será esta área máxima? [1,25 puntos]

Considere la matriz $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$.

a) Encuentre la expresión general de $A^n$. Demuestre que la inversa de $A^n$ es $\left(\begin{array}{cc}1& -n\\ 0& 1\end{array}\right)$. [1,25 puntos]

b) Encuentre la matriz $X$ que satisface la ecuación matricial $A^{10}\cdot X-A^{20}=A$. [1,25 puntos]

Considere la función real de variable real $f(x)=4x^3+a{x}^2-2$.

a) Determine el valor del parámetro real $a$ para que la función tenga un extremo relativo en el punto de abscisa $x=-1$. [1,25 puntos]

b) Calcule los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f(x)$ cuando $a=12$. Indique también los puntos en los que hay extremos relativos y clasifíquelos. [1,25 puntos]