Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Considere la matriz $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$.

a) Encuentre la expresión general de $A^n$. Demuestre que la inversa de $A^n$ es $\left(\begin{array}{cc}1& -n\\ 0& 1\end{array}\right)$. [1,25 puntos]

b) Encuentre la matriz $X$ que satisface la ecuación matricial $A^{10}\cdot X-A^{20}=A$. [1,25 puntos]

Calculamos las primeras potencias para descubrir la pauta.

$A^2=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)$

$A^3=A^2\cdot A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 0& 1\end{array}\right)$

Todo apunta a que la potencia $n$-ésima lleva el propio exponente en la esquina superior derecha:

$A^n=\left(\begin{array}{cc}1& n\\ 0& 1\end{array}\right)$

Lo comprobamos por inducción. La fórmula vale para $n=1$, y suponiendo que vale para $n$:

$A^{n+1}=A^n\cdot A=\left(\begin{array}{cc}1& n\\ 0& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& n+1\\ 0& 1\end{array}\right)$

Para demostrar cuál es la inversa basta multiplicar las dos matrices y comprobar que sale la identidad, que es la definición de matriz inversa.

$\left(\begin{array}{cc}1& n\\ 0& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& -n\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& -n+n\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=I$

Por tanto, $A^n=\left(\begin{array}{cc}1& n\\ 0& 1\end{array}\right)$ y su inversa es $(A^n{)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& -n\\ 0& 1\end{array}\right)$.



Despejamos $X$ multiplicando por la izquierda por la inversa de $A^{10}$, que ya conocemos del apartado anterior.

$A^{10}\cdot X=A+A^{20}\Rightarrow X=(A^{10}{)}^{-1}(A+A^{20})$

Escribimos las tres matrices que intervienen:

$A^{10}=\left(\begin{array}{cc}1& 10\\ 0& 1\end{array}\right),A^{20}=\left(\begin{array}{cc}1& 20\\ 0& 1\end{array}\right),(A^{10}{)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& -10\\ 0& 1\end{array}\right)$

$A+A^{20}=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}1& 20\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 21\\ 0& 2\end{array}\right)$

$X=\left(\begin{array}{cc}1& -10\\ 0& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}2& 21\\ 0& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 21-20\\ 0& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$

Comprobamos el resultado en la ecuación de partida:

$A^{10}\cdot X=\left(\begin{array}{cc}1& 10\\ 0& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 21\\ 0& 2\end{array}\right)=A+A^{20}$

La matriz buscada es $X=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$.