Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

La tabla siguiente muestra los ingresos, en miles de euros, de una tienda que dispone de tres locales, durante los meses de enero, febrero y marzo de 2020.

$$	$\text{Enero}$	$\text{Febrero}$	$\text{Marzo}$ Local 1	13,5	13,2	4,2 Local 2	11	12,5	3,8 Local 3	15	14	2,7

Hemos recogido la información anterior en la matriz $A$, donde cada fila indica un local y cada columna el mes correspondiente:

$A=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{13,5}& \mathrm{13,2}& \mathrm{4,2}\\ 11& \mathrm{12,5}& \mathrm{3,8}\\ 15& 14& \mathrm{2,7}\end{array}\right)$

a) Considere los vectores $v=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\end{array}\right)$ y $w=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$. Haga las operaciones $v\cdot A$ y $A\cdot w$. Interprete en cada caso el resultado obtenido. [1,25 puntos]

b) La matriz $B$ recoge los resultados del trimestre siguiente, es decir, los ingresos correspondientes a los meses de abril, mayo y junio de 2020:

$B=\left(\begin{array}{ccc}2& 6& 4\\ 2& 7& 5\\ 4& 11& x\end{array}\right)$

Desconocemos el dato correspondiente al mes de junio del local 3, que hemos denominado $x$, pero sabemos que el rango de la matriz $B$ es 2. Encuentre el valor de $x$. [1,25 puntos]

Multiplicar por la izquierda por una fila de unos suma los elementos de cada columna, y multiplicar por la derecha por una columna de unos suma los elementos de cada fila. Hagamos los dos productos.

$v\cdot A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}\mathrm{13,5}& \mathrm{13,2}& \mathrm{4,2}\\ 11& \mathrm{12,5}& \mathrm{3,8}\\ 15& 14& \mathrm{2,7}\end{array}\right)$

$v\cdot A=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{13,5}+11+15& \mathrm{13,2}+\mathrm{12,5}+14& \mathrm{4,2}+\mathrm{3,8}+\mathrm{2,7}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{39,5}& \mathrm{39,7}& \mathrm{10,7}\end{array}\right)$

Cada elemento es la suma de una columna, es decir, los ingresos de los tres locales juntos en cada uno de los tres meses: 39.500 € en enero, 39.700 € en febrero y 10.700 € en marzo.

$A\cdot w=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{13,5}& \mathrm{13,2}& \mathrm{4,2}\\ 11& \mathrm{12,5}& \mathrm{3,8}\\ 15& 14& \mathrm{2,7}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\mathrm{30,9}\\ \mathrm{27,3}\\ \mathrm{31,7}\end{array}\right)$

Ahora cada elemento es la suma de una fila, es decir, los ingresos del trimestre de cada local: 30.900 € el local 1, 27.300 € el local 2 y 31.700 € el local 3.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Sabemos}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{rango}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathit{B}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{2.}}\mathbf{\text{Encuentre}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathit{x}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Una matriz cuadrada de orden 3 tiene rango 3 si su determinante es distinto de cero, de manera que para que el rango sea 2 el determinante ha de anularse. Calculamos el determinante por la regla de Sarrus.

$\mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}2& 6& 4\\ 2& 7& 5\\ 4& 11& x\end{array}\mid$

$\mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }=2\cdot 7\cdot x+6\cdot 5\cdot 4+4\cdot 2\cdot 11-4\cdot 7\cdot 4-6\cdot 2\cdot x-2\cdot 5\cdot 11$

$\mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }=14x+120+88-112-12x-110=2x-14$

$2x-14=0\Rightarrow x=7$

Falta comprobar que con ese valor el rango es exactamente 2, y no menor. Basta encontrar un menor de orden 2 no nulo:

$\mid \begin{array}{cc}2& 6\\ 2& 7\end{array}\mid =14-12=2\mathrm{\ne }0$

El valor buscado es $x=7$, es decir, en junio el local 3 ingresó $7000$ €.