Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Considere:

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 5& 4& 1\\ 5& 3& 1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& -1\\ -5& -3& 4\end{array}\right),v=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 5\end{array}\right)\mathrm{.}$

a) ¿Es cierto que $A=B^{-1}$? ¿Es cierto que $B=A^{-1}$? [1 punto]

b) Calcule $x$ tal que $Ax=v$. [1 punto]

c) Con el valor de $x$ del apartado anterior, calcule $y$ tal que $B^{2}y=x$. [1 punto]

Dos matrices cuadradas son inversas una de la otra cuando su producto es la matriz identidad. Basta entonces multiplicar $A$ por $B$ y comprobar el resultado.

$A\cdot B=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 5& 4& 1\\ 5& 3& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& -1\\ -5& -3& 4\end{array}\right)$

$A\cdot B=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 5+0-5& 0+4-3& 0-4+4\\ 5+0-5& 0+3-3& 0-3+4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=I$

El producto en el otro orden da lo mismo.

$B\cdot A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& -1\\ -5& -3& 4\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 5& 4& 1\\ 5& 3& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=I$

Como $A\cdot B=B\cdot A=I$, las dos afirmaciones son ciertas: $A$ es la inversa de $B$ y $B$ es la inversa de $A$. La relación de inversa es recíproca, de manera que en cuanto una de las dos igualdades se cumple la otra también.

$A=B^{-1}\text{y}B=A^{-1}$



Se despeja $x$ multiplicando por la izquierda por la inversa de $A$, que por el apartado anterior ya la tenemos: es $B$.

$Ax=v\Rightarrow A^{-1}Ax=A^{-1}v\Rightarrow x=A^{-1}v=Bv$

$x=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& -1\\ -5& -3& 4\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ -1-5\\ -5+3+20\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ -6\\ 18\end{array}\right)$

Comprobamos el resultado en la ecuación de partida.

$Ax=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 5& 4& 1\\ 5& 3& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -6\\ 18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 5-24+18\\ 5-18+18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 5\end{array}\right)=v$

La solución es el vector $x=(1,-6,18)$.



Se despeja igual que antes. La inversa de $B^2$ no hace falta calcularla desde cero: como $B^{-1}=A$, se tiene ${\left(B^2\right)}^{-1}={\left(B^{-1}\right)}^2=A^2$.

$B^{2}y=x\Rightarrow y={\left(B^2\right)}^{-1}x=A^{2}x$

Calculamos primero $A^2$.

$A^2=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 5& 4& 1\\ 5& 3& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 5& 4& 1\\ 5& 3& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 5+20+5& 16+3& 4+1\\ 5+15+5& 12+3& 3+1\end{array}\right)$

$A^2=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 30& 19& 5\\ 25& 15& 4\end{array}\right)$

Ahora se multiplica por el vector $x$ del apartado b).

$y=A^{2}x=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 30& 19& 5\\ 25& 15& 4\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -6\\ 18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 30-114+90\\ 25-90+72\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 6\\ 7\end{array}\right)$

Se comprueba calculando $B^2$ y multiplicando.

$B^2=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 5& 4& -5\\ -25& -15& 19\end{array}\right)\Rightarrow B^{2}y=\left(\begin{array}{c}1\\ 5+24-35\\ -25-90+133\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ -6\\ 18\end{array}\right)=x$

La solución es el vector $y=(1,6,7)$.