Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Dadas las matrices de la forma $A=\left(\begin{array}{ccc}a& 1& 0\\ 0& b& 1\\ 0& 0& c\end{array}\right)$.

a) Calcule $A^2$. [2 puntos]

b) Encuentre $a$, $b$ y $c$ tales que $A^2=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$. [8 puntos]

Multiplicamos la matriz por sí misma, fila por columna.

$A^2=\left(\begin{array}{ccc}a& 1& 0\\ 0& b& 1\\ 0& 0& c\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}a& 1& 0\\ 0& b& 1\\ 0& 0& c\end{array}\right)$

$A^2=\left(\begin{array}{ccc}a\cdot a+1\cdot 0+0\cdot 0& a\cdot 1+1\cdot b+0\cdot 0& a\cdot 0+1\cdot 1+0\cdot c\\ 0\cdot a+b\cdot 0+1\cdot 0& 0\cdot 1+b\cdot b+1\cdot 0& 0\cdot 0+b\cdot 1+1\cdot c\\ 0\cdot a+0\cdot 0+c\cdot 0& 0\cdot 1+0\cdot b+c\cdot 0& 0\cdot 0+0\cdot 1+c\cdot c\end{array}\right)$

$A^2=\left(\begin{array}{ccc}{a}^2& a+b& 1\\ 0& b^2& b+c\\ 0& 0& c^2\end{array}\right)$

Como era de esperar, el producto de dos matrices triangulares superiores vuelve a ser triangular superior, y en la diagonal quedan los cuadrados de los elementos de la diagonal de $A$.



Igualamos las dos matrices elemento a elemento. Las posiciones nulas se cumplen solas, y la posición $a_{13}$ también, porque en $A^2$ vale 1 cualesquiera que sean los parámetros.

$\{\begin{array}{l}{a}^2=1\\ a+b=0\\ b^2=1\\ b+c=0\\ c^2=1\end{array}$

De la primera ecuación salen dos posibilidades.

$a^2=1\Rightarrow a=\pm 1$

Las ecuaciones segunda y cuarta encadenan los tres parámetros.

$a+b=0\Rightarrow b=-a;b+c=0\Rightarrow c=-b=a$

Con eso las ecuaciones $b^2=1$ y $c^2=1$ se cumplen automáticamente, porque $b$ y $c$ valen $\pm 1$. Quedan por tanto dos soluciones.

Si $a=1$: $b=-1$ y $c=1$.

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& -1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\Rightarrow A^2=\left(\begin{array}{ccc}1& 1-1& 1\\ 0& 1& -1+1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

Si $a=-1$: $b=1$ y $c=-1$.

$A=\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& -1\end{array}\right)\Rightarrow A^2=\left(\begin{array}{ccc}1& -1+1& 1\\ 0& 1& 1-1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

Hay dos soluciones: $(a,b,c)=(1,-1,1)$ y $(a,b,c)=(-1,1,-1)$.