Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Dadas las matrices $A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& -1\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 1& 1\end{array}\right)$ e $I=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ la matriz identidad de orden 2, calcule, justificando la respuesta, las matrices $X$ e $Y$ que verifican el siguiente sistema de ecuaciones matriciales:

$\{\begin{array}{l}A\cdot X+I=B\\ 2\cdot X+Y=B\end{array}$

[2 puntos]

El sistema se resuelve en cadena: la primera ecuación matricial solo contiene la incógnita $X$, así que se despeja de ella y el resultado se lleva a la segunda para obtener $Y$.

$A\cdot X+I=B\Rightarrow A\cdot X=B-I$

$B-I=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 1& 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 0\end{array}\right)$

Para despejar $X$ hay que multiplicar por la izquierda por la inversa de $A$, que existe porque su determinante no es nulo.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}1& 0\\ 2& -1\end{array}\mid =-1-0=-1\mathrm{\ne }0$

$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }}}\cdot (\mathrm{Adj}(A){)}^t={\displaystyle \frac{1}{-1}}\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ -2& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& -1\end{array}\right)$

$X=A^{-1}\cdot (B-I)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& -1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 4\end{array}\right)$

Con $X$ ya conocida, la segunda ecuación da directamente $Y$.

$2X+Y=B\Rightarrow Y=B-2X=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 1& 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ 2& 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& -2\\ -1& -7\end{array}\right)$

Se comprueban las dos ecuaciones: $A\cdot X+I=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 0\end{array}\right)+I=B$ y $2X+Y=\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ 2& 8\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}0& -2\\ -1& -7\end{array}\right)=B$.

Las matrices buscadas son $X=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 4\end{array}\right)$ e $Y=\left(\begin{array}{cc}0& -2\\ -1& -7\end{array}\right)$.