Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Sean las matrices siguientes: $A=\left(\begin{array}{cc}-1& x\\ -2& 1\end{array}\right)$ e $I=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$.

Se pide, justificando las respuestas:

a) Determine el valor de $x$ para que se verifique que $A^2=-I$. [1 punto]

b) Para el valor de $x$ obtenido en el apartado anterior, determine la matriz $A^{43}$. [1 punto]

Se calcula el cuadrado de la matriz en función del parámetro y se impone después la igualdad elemento a elemento.

$A^2=\left(\begin{array}{cc}-1& x\\ -2& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}-1& x\\ -2& 1\end{array}\right)$

$A^2=\left(\begin{array}{cc}(-1)(-1)+x(-2)& (-1)x+x\cdot 1\\ (-2)(-1)+1\cdot (-2)& (-2)x+1\cdot 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1-2x& 0\\ 0& 1-2x\end{array}\right)$

Los elementos de fuera de la diagonal son nulos para cualquier valor de $x$, así que basta imponer la igualdad en la diagonal.

$1-2x=-1\Rightarrow 2x=2\Rightarrow x=1$

Para $x=1$ se cumple $A^2=-I$.



No hay que multiplicar cuarenta y tres veces la matriz: la relación $A^2=-I$ permite reducir el exponente. Se escribe 43 como el par más próximo por debajo más uno.

$A^{43}=A^{42}\cdot A=(A^2{)}^{21}\cdot A$

$(A^2{)}^{21}=(-I{)}^{21}=-I$

porque 21 es impar y $(-I{)}^{21}=(-1{)}^{21}I$.

$A^{43}=-I\cdot A=-A=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 2& -1\end{array}\right)$

La matriz pedida es $A^{43}=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 2& -1\end{array}\right)$.