Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Sean las matrices $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& -2& 1\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{ccc}2& x& 0\\ -1& 0& 2\end{array}\right)$ y $C=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ x& -1\end{array}\right)$. Se pide, justificando las respuestas:

a) Determine para qué valores de $x$ existe la inversa de $A\cdot B^t+3C$, siendo $B^t$ la matriz traspuesta de la matriz $B$. [1,5 puntos]

b) Calcule la inversa de $A\cdot B^t$ para $x=1$. [0,5 puntos]

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero, así que primero se calcula la matriz $A\cdot B^t+3C$ y después se impone esa condición.

$B^t=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ x& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$

$A\cdot B^t=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& -2& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}2& -1\\ x& 0\\ 0& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ -2x& 2\end{array}\right)$

$3C=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 3x& -3\end{array}\right)$

$A\cdot B^t+3C=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ -2x+3x& 2-3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ x& -1\end{array}\right)$

Se calcula su determinante y se exige que no se anule.

$\mathrm{\mid }A\cdot B^t+3C\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}2& 1\\ x& -1\end{array}\mid =-2-x$

$-2-x\mathrm{\ne }0\Rightarrow x\mathrm{\ne }-2$

La matriz $A\cdot B^t+3C$ tiene inversa para cualquier valor de $x$ distinto de $-2$.



Se particulariza la matriz $A\cdot B^t$ obtenida en el apartado anterior.

$A\cdot B^t=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ -2& 2\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }A\cdot B^t\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}2& 1\\ -2& 2\end{array}\mid =4+2=6\mathrm{\ne }0$

Al ser el determinante distinto de cero, la matriz es invertible, y se aplica el método de los adjuntos.

$(A\cdot B^t{)}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }A\cdot B^t\mathrm{\mid }}}\cdot (\mathrm{Adj}(A\cdot B^t){)}^t={\displaystyle \frac{1}{6}}\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 2& 2\end{array}\right)$

$(A\cdot B^t{)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{3}}& -{\displaystyle \frac{1}{6}}\\ {\displaystyle \frac{1}{3}}& {\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}\right)$

La inversa de $A\cdot B^t$ para $x=1$ es ${\displaystyle \frac{1}{6}}\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 2& 2\end{array}\right)$.