Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Dadas las matrices $A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$ y $B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 1\end{array}\right)$,

a) Calcule $A^2$ y $A^3$. [2 puntos]

b) Proponga una fórmula para $A^n$ y utilícela para calcular $A^{14}$. [4 puntos]

c) Resuelva la ecuación matricial $A\cdot X+{\displaystyle \frac{1}{5}}{B}^t\cdot B=2A$, donde $B^t$ denota la matriz traspuesta de $B$. [4 puntos]

Multiplicamos la matriz por sí misma.

$A^2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1+1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 1\end{array}\right)$

Y ahora $A^3=A^2\cdot A$.

$A^3=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2+1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 3& 1\end{array}\right)$



Comparando las tres potencias se ve el patrón: la matriz no cambia salvo el elemento de la posición $a_{21}$, que va tomando el valor del exponente.

$A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right),A^2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 1\end{array}\right),A^3=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 3& 1\end{array}\right)$

$A^n=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ n& 1\end{array}\right)$

La fórmula se justifica comprobando que al pasar de un exponente al siguiente se cumple, que es lo que hace el paso de inducción.

$A^n\cdot A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ n& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ n+1& 1\end{array}\right)=A^{n+1}$

Aplicándola con $n=14$:

$A^{14}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 14& 1\end{array}\right)$



Primero se despeja $X$ con las propiedades de las matrices. La matriz $A$ multiplica por la izquierda, así que su inversa entra también por la izquierda.

$A\cdot X=2A-{\displaystyle \frac{1}{5}}{B}^{t}B\Rightarrow X=A^{-1}(2A-{\displaystyle \frac{1}{5}}{B}^{t}B)$

Calculamos las piezas que hacen falta. La traspuesta de $B$ y su producto:

$B^t=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)\Rightarrow B^{t}B=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1+4& 2\\ 2& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$

${\displaystyle \frac{1}{5}}{B}^{t}B=\left(\begin{array}{cc}1& {\displaystyle \frac{2}{5}}\\ {\displaystyle \frac{2}{5}}& {\displaystyle \frac{1}{5}}\end{array}\right)$

$2A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 2& 2\end{array}\right)\Rightarrow 2A-{\displaystyle \frac{1}{5}}{B}^{t}B=\left(\begin{array}{cc}1& -{\displaystyle \frac{2}{5}}\\ {\displaystyle \frac{8}{5}}& {\displaystyle \frac{9}{5}}\end{array}\right)$

Ahora la inversa de $A$. Su determinante vale 1, así que existe.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=1\cdot 1-0\cdot 1=1\Rightarrow A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{1}}\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -1& 1\end{array}\right)$

Multiplicamos y obtenemos $X$.

$X=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -1& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& -{\displaystyle \frac{2}{5}}\\ {\displaystyle \frac{8}{5}}& {\displaystyle \frac{9}{5}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& -{\displaystyle \frac{2}{5}}\\ -1+{\displaystyle \frac{8}{5}}& {\displaystyle \frac{2}{5}}+{\displaystyle \frac{9}{5}}\end{array}\right)$

$X=\left(\begin{array}{cc}1& -{\displaystyle \frac{2}{5}}\\ {\displaystyle \frac{3}{5}}& {\displaystyle \frac{11}{5}}\end{array}\right)$

Comprobamos el resultado en la ecuación de partida.

$A\cdot X=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& -{\displaystyle \frac{2}{5}}\\ {\displaystyle \frac{3}{5}}& {\displaystyle \frac{11}{5}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& -{\displaystyle \frac{2}{5}}\\ {\displaystyle \frac{8}{5}}& {\displaystyle \frac{9}{5}}\end{array}\right)$

$A\cdot X+{\displaystyle \frac{1}{5}}{B}^{t}B=\left(\begin{array}{cc}1+1& -{\displaystyle \frac{2}{5}}+{\displaystyle \frac{2}{5}}\\ {\displaystyle \frac{8}{5}}+{\displaystyle \frac{2}{5}}& {\displaystyle \frac{9}{5}}+{\displaystyle \frac{1}{5}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 2& 2\end{array}\right)=2A$