Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Considere las matrices siguientes:

$M=\left(\begin{array}{ccc}k& 1& 0\\ 2& -1& 3k\end{array}\right),N=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ k& -1\\ -2& 3\end{array}\right)\mathrm{.}$

a) Razone si es posible calcular los productos $M\cdot N$ y $M^2$. En el caso de que lo sea, calcúlelos. [2 puntos]

b) Estudie para qué valores de $k$ es $M\cdot N$ invertible. [3 puntos]

c) Calcule la inversa de $M\cdot N$ para $k=1$. [2 puntos]

d) Para $k=1$, encuentre la matriz $X$ que cumple $(M\cdot N)\cdot X=B$, donde $B=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$. [3 puntos]

Dos matrices se pueden multiplicar cuando el número de columnas de la primera coincide con el número de filas de la segunda.

$M\text{ es de orden }2\times 3,N\text{ es de orden }3\times 2$

El producto $M\cdot N$ sí es posible, porque $M$ tiene 3 columnas y $N$ tiene 3 filas; el resultado es de orden $2\times 2$.

$M\cdot N=\left(\begin{array}{ccc}k& 1& 0\\ 2& -1& 3k\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}0& 2\\ k& -1\\ -2& 3\end{array}\right)$

$M\cdot N=\left(\begin{array}{cc}0+k+0& 2k-1+0\\ 0-k-6k& 4+1+9k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}k& 2k-1\\ -7k& 9k+5\end{array}\right)$

El producto $M^2=M\cdot M$ no es posible: $M$ tiene 3 columnas y solo 2 filas, así que no se cumple la condición. Solo las matrices cuadradas se pueden elevar a una potencia.



Una matriz cuadrada es invertible cuando su determinante es distinto de cero.

$\mathrm{\mid }M\cdot N\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}k& 2k-1\\ -7k& 9k+5\end{array}\mid =k(9k+5)-(2k-1)(-7k)$

$\mathrm{\mid }M\cdot N\mathrm{\mid }=9k^2+5k+7k(2k-1)=9k^2+5k+14k^2-7k$

$\mathrm{\mid }M\cdot N\mathrm{\mid }=23k^2-2k=k(23k-2)$

$\mathrm{\mid }M\cdot N\mathrm{\mid }=0\Rightarrow k(23k-2)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}k=0\\ k={\displaystyle \frac{2}{23}}\end{array}$

La matriz $M\cdot N$ es invertible para todo $k\mathrm{\ne }0$ y $k\mathrm{\ne }{\displaystyle \frac{2}{23}}$.



Con $k=1$ la matriz y su determinante son

$M\cdot N=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -7& 14\end{array}\right),\mathrm{\mid }M\cdot N\mathrm{\mid }=1\cdot (23-2)=21\mathrm{\ne }0$

Para una matriz de orden 2 la inversa se obtiene intercambiando los elementos de la diagonal principal, cambiando de signo los de la secundaria y dividiendo entre el determinante.

$(M\cdot N{)}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{21}}\left(\begin{array}{cc}14& -1\\ 7& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{2}{3}}& -{\displaystyle \frac{1}{21}}\\ {\displaystyle \frac{1}{3}}& {\displaystyle \frac{1}{21}}\end{array}\right)$

Comprobamos que el producto da la identidad.

$\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -7& 14\end{array}\right)\cdot {\displaystyle \frac{1}{21}}\left(\begin{array}{cc}14& -1\\ 7& 1\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{21}}\left(\begin{array}{cc}14+7& -1+1\\ -98+98& 7+14\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{21}}\left(\begin{array}{cc}21& 0\\ 0& 21\end{array}\right)=I$



Se despeja $X$ multiplicando por la izquierda por la inversa que se acaba de calcular. El orden importa: la inversa va por el mismo lado en el que está la matriz que se quiere eliminar.

$(M\cdot N)\cdot X=B\Rightarrow (M\cdot N{)}^{-1}(M\cdot N)X=(M\cdot N{)}^{-1}B$

$X=(M\cdot N{)}^{-1}\cdot B$

$X={\displaystyle \frac{1}{21}}\left(\begin{array}{cc}14& -1\\ 7& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 1\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{21}}\left(\begin{array}{cc}28& -1\\ 14& 1\end{array}\right)$

$X=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{4}{3}}& -{\displaystyle \frac{1}{21}}\\ {\displaystyle \frac{2}{3}}& {\displaystyle \frac{1}{21}}\end{array}\right)$

Comprobamos el resultado en la ecuación de partida.

$\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -7& 14\end{array}\right)\cdot {\displaystyle \frac{1}{21}}\left(\begin{array}{cc}28& -1\\ 14& 1\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{21}}\left(\begin{array}{cc}42& 0\\ 0& 21\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=B$