Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Dadas las matrices

$X=\left(\begin{array}{cc}m& 0\\ 0& 3\end{array}\right),Y=\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ 2& k\end{array}\right),$

a) Encuentre los valores de $k$ para los cuales $Y$ es invertible. [3 puntos]

b) Encuentre la inversa de $Y$ para $k=1$. [3 puntos]

c) Determine los valores de $m$ y $n$ para los cuales la matriz $X$ cumple

$X^2-4X+nId=0,$

donde $Id$ denota la matriz identidad $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ y $0$ la matriz nula $\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$. [4 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Encuentre}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{k}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{cuales}}\mathit{Y}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{invertible.}}\mathbf{\text{[3}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Una matriz cuadrada es invertible cuando su determinante es distinto de cero, así que se calcula el determinante y se estudia cuándo se anula.

$\mathrm{\mid }Y\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}-1& 2\\ 2& k\end{array}\mid =-1\cdot k-2\cdot 2=-k-4$

$\mathrm{\mid }Y\mathrm{\mid }=0\Rightarrow -k-4=0\Rightarrow k=-4$

La matriz $Y$ es invertible para todo $k\mathrm{\ne }-4$. Para $k=-4$ el determinante se anula y no existe la inversa.



Con $k=1$ la matriz y su determinante son

$Y=\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ 2& 1\end{array}\right),\mathrm{\mid }Y\mathrm{\mid }=-1-4=-5\mathrm{\ne }0$

Para una matriz de orden 2 la inversa se obtiene intercambiando los elementos de la diagonal principal, cambiando de signo los de la secundaria y dividiendo entre el determinante.

$Y^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }Y\mathrm{\mid }}}\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ -2& -1\end{array}\right)=-{\displaystyle \frac{1}{5}}\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ -2& -1\end{array}\right)$

$Y^{-1}=\left(\begin{array}{cc}-{\displaystyle \frac{1}{5}}& {\displaystyle \frac{2}{5}}\\ {\displaystyle \frac{2}{5}}& {\displaystyle \frac{1}{5}}\end{array}\right)$

Comprobamos que el producto da la identidad.

$Y\cdot Y^{-1}=\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}-{\displaystyle \frac{1}{5}}& {\displaystyle \frac{2}{5}}\\ {\displaystyle \frac{2}{5}}& {\displaystyle \frac{1}{5}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{5}}+{\displaystyle \frac{4}{5}}& -{\displaystyle \frac{2}{5}}+{\displaystyle \frac{2}{5}}\\ -{\displaystyle \frac{2}{5}}+{\displaystyle \frac{2}{5}}& {\displaystyle \frac{4}{5}}+{\displaystyle \frac{1}{5}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$



La matriz $X$ es diagonal, y las potencias de una matriz diagonal se calculan elevando cada elemento de la diagonal.

$X=\left(\begin{array}{cc}m& 0\\ 0& 3\end{array}\right)\Rightarrow X^2=\left(\begin{array}{cc}{m}^2& 0\\ 0& 9\end{array}\right)$

Montamos la expresión completa.

$X^2-4X+nId=\left(\begin{array}{cc}{m}^2& 0\\ 0& 9\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}4m& 0\\ 0& 12\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}n& 0\\ 0& n\end{array}\right)$

$X^2-4X+nId=\left(\begin{array}{cc}{m}^2-4m+n& 0\\ 0& 9-12+n\end{array}\right)$

Igualamos a la matriz nula elemento a elemento. Los de fuera de la diagonal ya son cero, así que quedan dos ecuaciones.

$\{\begin{array}{l}{m}^2-4m+n=0\\ 9-12+n=0\end{array}$

La segunda ecuación da directamente $n$.

$n-3=0\Rightarrow n=3$

Se sustituye en la primera y se resuelve la ecuación de segundo grado.

$m^2-4m+3=0\Rightarrow m={\displaystyle \frac{4\pm \sqrt{16-12}}{2}}={\displaystyle \frac{4\pm 2}{2}}$

$\{\begin{array}{l}m=3\\ m=1\end{array}$

Comprobamos con $m=1$ y $n=3$: $1-4+3=0$ y $9-12+3=0$.

La igualdad se cumple para $n=3$ con $m=1$ o $m=3$. El valor $m=3$ es el que hace que $X$ sea $3Id$.