Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Considere las matrices $A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& -1\end{array}\right)$ y $B=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$.

a) Compruebe que se cumple que $A^{-1}=A^2$. [1,25 puntos]

b) Resuelva la ecuación matricial $A\cdot X+B=I$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 2. [1,25 puntos]

Calculamos por separado las dos matrices y comprobamos que coinciden. Empezamos por el cuadrado.

$A^2=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& -1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& -1\end{array}\right)$

$A^2=\left(\begin{array}{cc}0\cdot 0+1\cdot (-1)& 0\cdot 1+1\cdot (-1)\\ -1\cdot 0+(-1)(-1)& -1\cdot 1+(-1)(-1)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$

Para la inversa se calcula primero el determinante.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}0& 1\\ -1& -1\end{array}\mid =0\cdot (-1)-1\cdot (-1)=1\mathrm{\ne }0$

Al ser el determinante distinto de cero, la matriz tiene inversa. Para una matriz de orden 2 la inversa se obtiene intercambiando los elementos de la diagonal principal, cambiando de signo los de la otra y dividiendo entre el determinante.

$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }}}\left(\begin{array}{cc}-1& -1\\ 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$

Las dos matrices coinciden, de modo que efectivamente $A^{-1}=A^2$. Se puede comprobar también multiplicando:

$A\cdot A^2=A^3=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& -1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}-1& -1\\ 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=I$



Se despeja $X$ pasando primero la matriz $B$ al otro miembro y multiplicando después por la izquierda por la inversa de $A$.

$A\cdot X=I-B\Rightarrow X=A^{-1}(I-B)$

$I-B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& -1\\ -1& -1\end{array}\right)$

Por el apartado anterior sabemos que $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}-1& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$, de manera que:

$X=\left(\begin{array}{cc}-1& -1\\ 1& 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}-1& -1\\ -1& -1\end{array}\right)$

$X=\left(\begin{array}{cc}(-1)(-1)+(-1)(-1)& (-1)(-1)+(-1)(-1)\\ 1\cdot (-1)+0\cdot (-1)& 1\cdot (-1)+0\cdot (-1)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ -1& -1\end{array}\right)$

Comprobamos el resultado en la ecuación de partida:

$A\cdot X+B=\left(\begin{array}{cc}-1& -1\\ -1& -1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=I$

La matriz buscada es $X=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ -1& -1\end{array}\right)$.