Examen de Matemáticas CCSS de Cataluña 2020 (convocatoria ordinaria)

Un vendedor de una librería de viejo cobra, además de un sueldo fijo, diferentes comisiones dependiendo del tipo de libro que vende. Cobra 1 € por cada cómic, 1,5 € por cada revista y 2 € por cada novela.

Ayer vendió el doble de revistas que de novelas y 5 cómics menos que revistas, y consiguió en total una comisión de 30 €.

¿Cuántas publicaciones vendió de cada tipo? [2,5 puntos]

El 1 de enero de 2019 salió al mercado un nuevo modelo de un producto técnico de esquí. La función de tercer grado $f(x)=10x^3-210x^2+1.470x$ nos da el número total de unidades vendidas, donde $x$ denota el número de meses transcurridos desde el lanzamiento del producto, durante el primer año (es decir, $x\in [0,12]$).

a) ¿Cuántas unidades se habían vendido al cabo de 3 meses? ¿Cuántas se vendieron al cabo de un año? Determine la tasa de variación media entre los meses 3 y 12. [1,25 puntos]

b) Compruebe que la función es creciente en el intervalo $[0,12]$ y encuentre en qué instante el crecimiento ha sido más lento. [1,25 puntos]

El coste de elaboración de un menú en un restaurante es de 8 €. Se ha realizado un estudio de mercado y se ha llegado a la conclusión de que si el precio del menú es de 18 € entran a comer al restaurante 120 clientes. También se ha concluido que la relación entre el precio del menú y el número de clientes es lineal, de manera que, por cada euro que aumentamos el precio del menú, disminuye en 4 el número de clientes. Y al revés, por cada euro que disminuimos el precio, aumenta en 4 el número de clientes.

a) Obtenga la función que expresa el beneficio del restaurante en función del número de euros en que aumentamos o disminuimos el precio inicial del menú. [1,25 puntos]

b) Encuentre en cuántos euros hay que aumentar o disminuir el precio inicial del menú para que el restaurante obtenga el máximo beneficio. ¿Cuál sería el precio final del menú y cuál sería el beneficio obtenido con este precio? [1,25 puntos]

Un fabricante de muebles de jardín fabrica sillas y mesas de madera de exterior. Cada silla le aporta un beneficio de 20 € y cada mesa uno de 25 €. Sabemos que cada mes puede producir como máximo un total de 120 muebles entre los dos productos. También sabemos que, como máximo, puede fabricar 100 sillas y que ha de fabricar un mínimo de 10 mesas. Por otra parte, el número de sillas fabricadas ha de ser igual o superior al triple de mesas fabricadas.

a) Determine la función objetivo y las restricciones. Dibuje la región factible. [1,25 puntos]

b) ¿Cuál es la producción mensual que le aporta el máximo beneficio una vez vendida? ¿Cuál es este beneficio? [1,25 puntos]

Considere las matrices $A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& -1\end{array}\right)$ y $B=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$.

a) Compruebe que se cumple que $A^{-1}=A^2$. [1,25 puntos]

b) Resuelva la ecuación matricial $A\cdot X+B=I$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 2. [1,25 puntos]

El beneficio de una empresa, expresado en millones de euros, viene dado por la función siguiente, donde $x$ indica el número de años que han pasado desde el momento en que empezó a funcionar:

$B(x)={\displaystyle \frac{5x+20}{x^2+9}}-{\displaystyle \frac{20}{9}}$

a) ¿Cuál es el beneficio en el momento en que la empresa empieza a funcionar? ¿En qué momento la empresa pasa de tener beneficios a tener pérdidas? [1,25 puntos]

b) ¿En qué momento consigue la empresa el beneficio máximo? ¿Cuál es este beneficio máximo? [1,25 puntos]