Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2020

El coste de elaboración de un menú en un restaurante es de 8 €. Se ha realizado un estudio de mercado y se ha llegado a la conclusión de que si el precio del menú es de 18 € entran a comer al restaurante 120 clientes. También se ha concluido que la relación entre el precio del menú y el número de clientes es lineal, de manera que, por cada euro que aumentamos el precio del menú, disminuye en 4 el número de clientes. Y al revés, por cada euro que disminuimos el precio, aumenta en 4 el número de clientes.

a) Obtenga la función que expresa el beneficio del restaurante en función del número de euros en que aumentamos o disminuimos el precio inicial del menú. [1,25 puntos]

b) Encuentre en cuántos euros hay que aumentar o disminuir el precio inicial del menú para que el restaurante obtenga el máximo beneficio. ¿Cuál sería el precio final del menú y cuál sería el beneficio obtenido con este precio? [1,25 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Obtenga}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{expresa}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{restaurante}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{euros}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{aumentamos}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{disminuimos}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{inicial}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{men}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Llamamos $x$ al número de euros en que se modifica el precio del menú: si $x$ es positivo el precio sube y si es negativo el precio baja. Con ese convenio, las dos magnitudes que dependen de $x$ son:

$\text{Precio del men}\acute{\text{u}}=18+x$

$\text{N}\acute{\text{u}}\text{mero de clientes}=120-4x$

El beneficio de cada menú es la diferencia entre lo que se cobra y lo que cuesta elaborarlo, y el beneficio total es ese margen multiplicado por el número de clientes.

$B(x)=((18+x)-8)(120-4x)=(10+x)(120-4x)$

$B(x)=1200-40x+120x-4x^2$

$B(x)=-4x^2+80x+1200$

El beneficio del restaurante en función de la variación del precio es $B(x)=-4x^2+80x+1200$ euros.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Encuentre}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{euros}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{aumentar}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{disminuir}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{inicial}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{men}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{restaurante}}\mathbf{\text{obtenga}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{beneficio.}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{final}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{men}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{obtenido}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{precio?}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Derivamos la función beneficio y la igualamos a cero en busca de los puntos críticos.

$B^{\mathrm{\prime }}(x)=-8x+80$

$B^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow -8x+80=0\Rightarrow x=10$

Comprobamos con la segunda derivada que se trata de un máximo.

$B^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-8\Rightarrow B^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(10)=-8<0$

Como el resultado es positivo, hay que subir el precio. Calculamos el precio final, el número de clientes y el beneficio.

$\text{Precio}=18+10=28\text{ €}$

$\text{Clientes}=120-4\cdot 10=80$

$B(10)=-4\cdot 100+80\cdot 10+1200=-400+800+1200=1600$

Hay que aumentar el precio inicial en $10$ €, con lo que el menú pasa a costar $28$ €, entran $80$ clientes y el restaurante obtiene un beneficio máximo de $1600$ €.