Examen de Matemáticas CCSS de Cataluña 2024 (convocatoria extraordinaria)

Los beneficios o pérdidas diarios de una nueva empresa durante el primer año de funcionamiento vienen dados por la función $B(x)=-x^2+260x-12.000$, donde $x$ representa el día desde el inicio de la actividad de la empresa.

a) ¿Qué beneficio o pérdida tuvo la empresa el día 45? ¿Qué días obtuvo un beneficio de 4.000 €? [1 punto]

b) Calcule qué día la empresa obtuvo el beneficio máximo y cuál fue este valor. Calcule también entre qué días la empresa no tuvo pérdidas. [1,5 puntos]

Una inversora quiere invertir su capital en un banco especializado en criptomonedas que ofrece diferentes depósitos con los intereses siguientes:

— BTC (bitcoin): 15 % anual.
— ETH (ether): 10 % anual.
— LNK (link): 13 % anual.

La inversora quiere invertir la misma cantidad en bitcoins que entre las otras dos criptomonedas juntas y quiere obtener un rendimiento anual global de un 13 %.

a) ¿Cuál ha de ser la relación entre la inversión en ethers y en links? [1,25 puntos]

b) Si sabemos que la inversión total será de 150.000 €, ¿qué cantidad invertirá en cada criptomoneda? [1,25 puntos]

Ona quiere construir una caja de cartón de base cuadrada y abierta (sin tapa) para poner rotuladores y colores, como la de la figura siguiente:



La caja ha de tener un volumen de 4 litros.

a) Exprese la altura de la caja ($y$) en función de la longitud del lado de la base ($x$). [0,5 puntos]

b) Ona quiere utilizar el mínimo de cartón posible para construir la caja. ¿Cuántos centímetros ha de medir el lado de la base ($x$) para que la superficie de la caja sea mínima? ¿Cuántos centímetros ha de medir la altura ($y$)? ¿Qué cantidad de cartón utilizará para construir la caja? [2 puntos]

Un cine dispone de dos salas en las que se proyectan dos películas diferentes. La tabla siguiente muestra el número de personas que han asistido a la proyección de cada película la última semana, agrupadas por franjas de edad:

$\text{Franja de edad}$	$\text{Pel}\acute{\text{ı}}\text{cula de la sala 1}$	$\text{Pel}\acute{\text{ı}}\text{cula de la sala 2}$ Menos de 18 años	122	620 18-65 años	930	433 Más de 65 años	384	281

La información de la tabla anterior se registra con la forma matricial $A=\left(\begin{array}{cc}122& 620\\ 930& 433\\ 384& 281\end{array}\right)$.

a) Considerando la matriz $B=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$, calcule el producto $A\cdot B$. Explique el significado de la matriz obtenida.

Sabemos que una entrada para personas de menos de 18 años cuesta 5 €, una entrada para adultos de entre 18 y 65 años cuesta 8,5 € y una entrada para adultos de más de 65 años cuesta 6,5 €. Encuentre una matriz $C=\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\end{array}\right)$ de manera que el producto $C\cdot A\cdot B$ dé los ingresos semanales totales obtenidos por la venta de entradas, y calcule los ingresos correspondientes a esta semana. [1,5 puntos]

b) Al cabo de unos meses, el registro semanal viene dado por la matriz $D=\left(\begin{array}{cc}84& 23\\ 338& x\\ 256& 408\end{array}\right)$, pero hay un valor que se ha borrado, el del número de personas entre 18 y 65 años que han asistido a la segunda película, y lo hemos denotado por $x$. Calcule el valor de $x$ sabiendo que los ingresos totales de aquella semana fueron de 12.076 €. [1 punto]

Un centro deportivo tiene dos zonas: la zona de la piscina ($A_1$) y la zona del gimnasio ($A_2$). Los abonados han de elegir a cuál de las dos zonas (solo una) quieren acceder y también si quieren ir al centro deportivo en horario de mañana (opción $B_1$) o en horario de tarde (opción $B_2$).

Si seleccionamos un abonado del centro al azar, sabemos que la probabilidad de que utilice la zona de la piscina es de 0,4 y la probabilidad de que utilice el gimnasio es de 0,6. Por otra parte, la probabilidad de que esté abonado en horario de mañana, si sabemos que utiliza la zona de la piscina, es de 0,55, mientras que la probabilidad de que esté abonado en horario de mañana, si sabemos que utiliza el gimnasio, es de 0,45.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el individuo esté abonado en horario de mañana? [1,25 puntos]

b) Si sabemos que está abonado en horario de mañana, ¿cuál es la probabilidad de que utilice la zona de piscina? [1,25 puntos]

Una empresa de autobuses afirma que hace el trayecto entre el aeropuerto y el centro de la ciudad en 30 minutos. Hemos obtenido una muestra del tiempo, en minutos, que ha tardado en 10 trayectos elegidos al azar:

$33,29,28,31,34,35,32,29,37,35$

a) Construya un intervalo de confianza del 95 % para la media del tiempo de trayecto, suponiendo que este tiempo sigue una distribución normal con una desviación típica de 2 minutos.

Nota: Recuerde que, si $Z$ sigue una distribución normal $(0,1)$, $P(-\mathrm{1,96}\le Z\le \mathrm{1,96})=\mathrm{0,95}$. Recuerde también que el intervalo de confianza para la media con un nivel de confianza $\gamma \in (0,1)$ cuando la varianza ${\sigma }^2$ es conocida viene dado por $[\bar{x}-z_{\gamma }{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}},\bar{x}+z_{\gamma }{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}]$. [1,5 puntos]

b) A partir del resultado obtenido en el apartado anterior, ¿podemos afirmar que la información que proporciona la empresa de autobuses es errónea? Justifique la respuesta. [1 punto]