Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Una inversora quiere invertir su capital en un banco especializado en criptomonedas que ofrece diferentes depósitos con los intereses siguientes:

— BTC (bitcoin): 15 % anual.
— ETH (ether): 10 % anual.
— LNK (link): 13 % anual.

La inversora quiere invertir la misma cantidad en bitcoins que entre las otras dos criptomonedas juntas y quiere obtener un rendimiento anual global de un 13 %.

a) ¿Cuál ha de ser la relación entre la inversión en ethers y en links? [1,25 puntos]

b) Si sabemos que la inversión total será de 150.000 €, ¿qué cantidad invertirá en cada criptomoneda? [1,25 puntos]

Llamamos $b$ a la cantidad invertida en bitcoins, $e$ a la invertida en ethers y $l$ a la invertida en links, todas en euros. Traducimos a ecuaciones las dos condiciones del enunciado.

La inversión en bitcoins iguala a la de las otras dos juntas:

$b=e+l$

El rendimiento total ha de ser el 13 % del capital invertido:

$\mathrm{0,15}b+\mathrm{0,10}e+\mathrm{0,13}l=\mathrm{0,13}(b+e+l)$

Sustituimos $b=e+l$ en la segunda ecuación:

$\mathrm{0,15}(e+l)+\mathrm{0,10}e+\mathrm{0,13}l=\mathrm{0,13}((e+l)+e+l)$

$\mathrm{0,25}e+\mathrm{0,28}l=\mathrm{0,26}e+\mathrm{0,26}l$

$\mathrm{0,02}l=\mathrm{0,01}e\Rightarrow e=2l$

La inversión en ethers ha de ser el doble de la inversión en links.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{sabemos}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{inversi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{total}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<mn\; mathvariant="bold">150.000</mn>}\mathbf{\text{€,}}\mathbf{\text{¿qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{cantidad}}\mathbf{\text{invertir}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{criptomoneda?}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Se añade la ecuación del capital total al sistema anterior.

$\{\begin{array}{l}b+e+l=150000\\ b=e+l\\ e=2l\end{array}$

De las dos primeras ecuaciones se obtiene la inversión en bitcoins:

$b+b=150000\Rightarrow b=75000$

Como $e+l=75000$ y $e=2l$:

$2l+l=75000\Rightarrow 3l=75000\Rightarrow l=25000\Rightarrow e=50000$

Comprobamos que el rendimiento global es el 13 % pedido:

$\mathrm{0,15}\cdot 75000+\mathrm{0,10}\cdot 50000+\mathrm{0,13}\cdot 25000=11250+5000+3250=19500$

${\displaystyle \frac{19500}{150000}}=\mathrm{0,13}$

La inversora colocará $75.000$ € en bitcoins, $50.000$ € en ethers y $25.000$ € en links.