Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Martín explica a Marcel que el otro día, cuando cogió el autocar para ir de Barcelona a Tarragona, el autocar se estropeó justo a la mitad del trayecto. Desde este punto fue caminando hasta la población más cercana, de manera que hizo a pie una veinteava parte del total del trayecto. Allí cogió un taxi hasta Tarragona, y dice que hizo 5 kilómetros más en autocar que en taxi.

a) Plantee y resuelva un sistema de ecuaciones para calcular cuántos kilómetros hizo Martín en autocar, a pie y en taxi. [1,75 puntos]

b) Si el autocar iba a 100 km/h, Martín caminó a 5 km/h y el taxi iba a 90 km/h, ¿cuánto tiempo tardó en hacer todo el trayecto? [0,75 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Plantee}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{resuelva}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{calcular}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{kil}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{metros}}\mathbf{\text{hizo}}\mathbf{\text{Mart}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{autocar,}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{pie}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{taxi.}}\mathbf{\text{(1,75}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Llamamos $x$ a los kilómetros hechos en autocar, $y$ a los hechos a pie y $z$ a los hechos en taxi. El total del trayecto es la suma de los tres tramos, y lo llamamos $T$.

$x+y+z=T$

El autocar se estropeó a la mitad del trayecto:

$x={\displaystyle \frac{T}{2}}$

A pie recorrió una veinteava parte del total:

$y={\displaystyle \frac{T}{20}}$

Hizo 5 kilómetros más en autocar que en taxi:

$x-z=5$

Despejamos el tramo en taxi de la primera ecuación:

$z=T-{\displaystyle \frac{T}{2}}-{\displaystyle \frac{T}{20}}={\displaystyle \frac{20T-10T-T}{20}}={\displaystyle \frac{9T}{20}}$

Y sustituimos en la última condición:

${\displaystyle \frac{T}{2}}-{\displaystyle \frac{9T}{20}}=5\Rightarrow {\displaystyle \frac{10T-9T}{20}}=5\Rightarrow {\displaystyle \frac{T}{20}}=5\Rightarrow T=100$

Con el total del trayecto se calculan los tres tramos:

$x={\displaystyle \frac{100}{2}}=50$

$y={\displaystyle \frac{100}{20}}=5$

$z={\displaystyle \frac{9\cdot 100}{20}}=45$

Comprobamos que los tres tramos suman el total y que se cumple la última condición:

$50+5+45=100,50-45=5$

Martín hizo $50$ km en autocar, $5$ km a pie y $45$ km en taxi.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{autocar}}\mathbf{\text{iba}}\mathbf{\text{a}}\mathrm{<mn\; mathvariant="bold">100</mn>}\mathbf{\text{km/h,}}\mathbf{\text{Mart}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{camin}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{5}\mathbf{\text{km/h}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{taxi}}\mathbf{\text{iba}}\mathbf{\text{a}}\mathrm{<mn\; mathvariant="bold">90</mn>}\mathbf{\text{km/h,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{tard}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{hacer}}\mathbf{\text{todo}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{trayecto?}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}$

En cada tramo el movimiento es uniforme, de manera que el tiempo es el cociente entre la distancia y la velocidad. El tiempo total es la suma de los tres.

$t={\displaystyle \frac{50}{100}}+{\displaystyle \frac{5}{5}}+{\displaystyle \frac{45}{90}}$

$t=\mathrm{0,5}+1+\mathrm{0,5}=2$

Martín tardó $2$ horas en hacer todo el trayecto.