Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Un triatlón consta de tres segmentos que hay que realizar consecutivamente practicando tres modalidades de deporte diferentes: natación, ciclismo y carrera a pie. La distancia total que se recorrerá en el triatlón es de 75 km. Sabemos que el recorrido en bicicleta es igual a cuatro veces la distancia que hay que recorrer nadando y corriendo conjuntamente. Sabemos también que si sumamos 3 km a la distancia que se hace corriendo nos da lo mismo que cinco veces el recorrido que se hace nadando. Determine la distancia recorrida en cada modalidad. [2,5 puntos]

$\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{recorrida}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{modalidad.}}\mathbf{\text{(2,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Llamamos $n$ a los kilómetros de natación, $c$ a los de ciclismo y $p$ a los de carrera a pie. Traducimos a ecuaciones los tres datos del enunciado.

La distancia total del triatlón es de 75 km:

$n+c+p=75$

El recorrido en bicicleta es cuatro veces el de natación y carrera juntos:

$c=4(n+p)$

La distancia de carrera más 3 km es cinco veces la de natación:

$p+3=5n$

$\{\begin{array}{l}n+c+p=75\\ c=4(n+p)\\ p+3=5n\end{array}$

En la primera ecuación aparece el bloque $n+p$, que es el que interviene en la segunda. Despejando $n+p=75-c$ y sustituyendo:

$c=4(75-c)\Rightarrow c=300-4c\Rightarrow 5c=300\Rightarrow c=60$

Con el ciclismo conocido se obtiene el resto del recorrido:

$n+p=75-60=15$

Sustituimos la tercera condición, $p=5n-3$:

$n+5n-3=15\Rightarrow 6n=18\Rightarrow n=3\Rightarrow p=5\cdot 3-3=12$

Comprobamos las tres condiciones:

$3+60+12=75,60=4(3+12),12+3=15=5\cdot 3$

En el triatlón se recorren $3$ km nadando, $60$ km en bicicleta y $12$ km corriendo.