Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Queremos medir el consumo de un coche eléctrico que tiene una batería de 50 kWh y que tiene un consumo diferente si lo conducimos por autopista, por ciudad o por carretera de montaña. Hicimos tres salidas, cada una empezando con la batería completamente cargada, y pudimos recorrer las siguientes distancias hasta acabar la batería:

— Primer día: 180 km por autopista y 60 km por ciudad.

— Segundo día: 200 km por ciudad y 80 km por carretera de montaña.

— Tercer día: 150 km por autopista y 80 km por carretera de montaña.

a) Calcule el consumo del coche para cada uno de los tipos de carreteras. [7 puntos]

b) Si únicamente lo utilizamos para conducir por ciudad, ¿cuál sería la cantidad total de km que podríamos recorrer con una carga completa de la batería? [3 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{consumo}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{coche}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{uno}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{tipos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{carreteras.}}\mathbf{\text{[7}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Llamamos $a$ al consumo por autopista, $c$ al consumo por ciudad y $m$ al consumo por carretera de montaña, todos ellos en kWh por kilómetro.

Cada salida empieza con la batería llena y acaba con la batería vacía, de modo que en cada una la energía consumida es exactamente 50 kWh. Eso da una ecuación por día.

$\{\begin{array}{ll}180a+60c=50& \text{(primer d}\acute{\text{ı}}\text{a)}\\ 200c+80m=50& \text{(segundo d}\acute{\text{ı}}\text{a)}\\ 150a+80m=50& \text{(tercer d}\acute{\text{ı}}\text{a)}\end{array}$

Las ecuaciones segunda y tercera comparten el término $80m$, así que restándolas se elimina.

$(200c+80m)-(150a+80m)=50-50\Rightarrow 200c-150a=0$

$200c=150a\Rightarrow c={\displaystyle \frac{150a}{200}}=\mathrm{0,75}a$

Sustituimos en la primera ecuación, que solo lleva $a$ y $c$.

$180a+60\cdot \mathrm{0,75}a=50\Rightarrow 180a+45a=50\Rightarrow 225a=50$

$a={\displaystyle \frac{50}{225}}={\displaystyle \frac{2}{9}}\approx \mathrm{0,2222}\text{ kWh/km}$

$c=\mathrm{0,75}\cdot {\displaystyle \frac{2}{9}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,5}}{9}}={\displaystyle \frac{1}{6}}\approx \mathrm{0,1667}\text{ kWh/km}$

Volvemos a la tercera ecuación para despejar $m$.

$150\cdot {\displaystyle \frac{2}{9}}+80m=50\Rightarrow {\displaystyle \frac{300}{9}}+80m=50$

$80m=50-{\displaystyle \frac{100}{3}}={\displaystyle \frac{150-100}{3}}={\displaystyle \frac{50}{3}}\Rightarrow m={\displaystyle \frac{50}{240}}={\displaystyle \frac{5}{24}}\approx \mathrm{0,2083}\text{ kWh/km}$

Comprobamos en la segunda ecuación, que no se ha usado para despejar.

$200\cdot {\displaystyle \frac{1}{6}}+80\cdot {\displaystyle \frac{5}{24}}={\displaystyle \frac{100}{3}}+{\displaystyle \frac{50}{3}}={\displaystyle \frac{150}{3}}=50$

Los consumos son, expresados también en la unidad habitual de kWh por cada 100 km:

$\text{Tipo de v}\acute{\text{ı}}\text{a}$	$\text{kWh/km}$	$\text{kWh/100 km}$ Autopista	$2\mathrm{/}9\approx \mathrm{0,2222}$	22,22 Ciudad	$1\mathrm{/}6\approx \mathrm{0,1667}$	16,67 Montaña	$5\mathrm{/}24\approx \mathrm{0,2083}$	20,83

El coche consume $2\mathrm{/}9\approx \mathrm{0,222}$ kWh/km por autopista, $1\mathrm{/}6\approx \mathrm{0,167}$ kWh/km por ciudad y $5\mathrm{/}24\approx \mathrm{0,208}$ kWh/km por carretera de montaña. La ciudad es el trazado más eficiente y la autopista el que más gasta.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{nicamente}}\mathbf{\text{lo}}\mathbf{\text{utilizamos}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{conducir}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{ciudad,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cantidad}}\mathbf{\text{total}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{km}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{podr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{amos}}\mathbf{\text{recorrer}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{carga}}\mathbf{\text{completa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{bater}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a?}}\mathbf{\text{[3}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La distancia se obtiene repartiendo la energía de la batería entre el consumo por kilómetro.

$d={\displaystyle \frac{\text{energ}\acute{\text{ı}}\text{a}}{\text{consumo}}}={\displaystyle \frac{50}{c}}={\displaystyle \frac{50}{1\mathrm{/}6}}=50\cdot 6=300\text{ km}$

Conduciendo solo por ciudad se podrían recorrer 300 km con una carga completa.