Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Dado el sistema de ecuaciones siguiente

$\{\begin{array}{l}x-ay+2z=0,\\ ax-4y-4z=0,\\ 4x+3y-2z=0,\end{array}$

dependiente del parámetro $a$.

a) Discuta para qué valores de $a$ el sistema tiene solución y cuántas tiene en cada caso. [6 puntos]

b) Encuentre la solución en el caso de que $a=-2$. [4 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Discuta}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{a}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntas}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{caso.}}\mathbf{\text{[6}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se trata de un sistema homogéneo, porque los tres términos independientes son cero. Un sistema homogéneo nunca es incompatible: siempre admite la solución trivial $x=y=z=0$. La discusión se reduce, por tanto, a si esa es la única solución o hay infinitas, y eso lo decide el determinante de la matriz de coeficientes.

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& -a& 2\\ a& -4& -4\\ 4& 3& -2\end{array}\right)$

Calculamos el determinante desarrollando por la primera fila.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=1\cdot \mid \begin{array}{cc}-4& -4\\ 3& -2\end{array}\mid -(-a)\cdot \mid \begin{array}{cc}a& -4\\ 4& -2\end{array}\mid +2\cdot \mid \begin{array}{cc}a& -4\\ 4& 3\end{array}\mid$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=1\cdot (8+12)+a\cdot (-2a+16)+2\cdot (3a+16)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=20-2a^2+16a+6a+32=-2a^2+22a+52$

Igualamos a cero para ver cuándo se anula.

$-2a^2+22a+52=0\Rightarrow a^2-11a-26=0$

$a={\displaystyle \frac{11\pm \sqrt{121+104}}{2}}={\displaystyle \frac{11\pm \sqrt{225}}{2}}={\displaystyle \frac{11\pm 15}{2}}$

$\{\begin{array}{l}a={\displaystyle \frac{11+15}{2}}=13\\ a={\displaystyle \frac{11-15}{2}}=-2\end{array}$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=-2(a-13)(a+2)$

Con eso ya se puede discutir:

Si $a\mathrm{\ne }13$ y $a\mathrm{\ne }-2$, entonces $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$, el rango de la matriz es 3 y el sistema es compatible determinado: tiene una única solución, la trivial $(0,0,0)$.

Si $a=13$ o $a=-2$, entonces $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0$, el rango baja a 2 y el sistema es compatible indeterminado: tiene infinitas soluciones, con un grado de libertad.



Sustituimos $a=-2$ en el sistema.

$\{\begin{array}{l}x+2y+2z=0\\ -2x-4y-4z=0\\ 4x+3y-2z=0\end{array}$

La segunda ecuación es la primera multiplicada por $-2$, luego no aporta nada y se descarta. Quedan dos ecuaciones y tres incógnitas.

$\{\begin{array}{l}x+2y+2z=0\\ 4x+3y-2z=0\end{array}$

Despejamos $x$ de la primera y sustituimos en la segunda.

$x=-2y-2z$

$4(-2y-2z)+3y-2z=0\Rightarrow -8y-8z+3y-2z=0$

$-5y-10z=0\Rightarrow y=-2z$

$x=-2(-2z)-2z=4z-2z=2z$

Llamando $z=\lambda$, la solución del sistema es

$\{\begin{array}{l}x=2\lambda \\ y=-2\lambda \\ z=\lambda \end{array}\lambda \in \mathbb{R}$

Comprobamos en la tercera ecuación del sistema original, que es la que no se ha usado para despejar.

$4\cdot 2\lambda +3\cdot (-2\lambda )-2\lambda =8\lambda -6\lambda -2\lambda =0$

Para $a=-2$ el sistema tiene infinitas soluciones, todas de la forma $(2\lambda ,-2\lambda ,\lambda )$. Con $\lambda =0$ se recupera la solución trivial y con $\lambda =1$ se obtiene, por ejemplo, $(2,-2,1)$.