Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Problema 1.

Una empresa está especializada en la preparación de mezclas de café. Utilizando café colombiano, brasileño y keniata, la empresa quiere comercializar paquetes de 1 kg con un coste de 8,50 € el paquete. El precio de un kilo de cada clase de café es, respectivamente, de 10 €, 6 € y 8 €. Sabiendo que la cantidad de café colombiano de la mezcla ha de ser el triple de la de café brasileño, calcula el porcentaje de cada tipo de café que ha de utilizarse en la mezcla.

(Planteamiento correcto 5 puntos - Solución correcta 5 puntos)

$\mathbf{\text{Problema}}\mathbf{\text{1.}}\mathbf{\text{Una}}\mathbf{\text{empresa}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{especializada}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{preparaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{mezclas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{caf}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{Utilizando}}\mathbf{\text{caf}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{colombiano,}}\mathbf{\text{brasile}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{keniata,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa}}\mathbf{\text{quiere}}\mathbf{\text{comercializar}}\mathbf{\text{paquetes}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{1}\mathbf{\text{kg}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{coste}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">8</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">50</mn></mrow>}\mathbf{\text{€}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{paquete.}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{kilo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{clase}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{caf}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{es,}}\mathbf{\text{respectivamente,}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<mn\; mathvariant="bold">10</mn>}\mathbf{\text{€,}}\mathbf{6}\mathbf{\text{€}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{8}\mathbf{\text{€.}}\mathbf{\text{Sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cantidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{caf}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{colombiano}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{mezcla}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ser}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{triple}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{caf}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{brasile}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o,}}\mathbf{\text{calcula}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{porcentaje}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{caf}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{utilizarse}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{mezcla.}}$

Llamamos $x$ a los kilos de café colombiano de la mezcla, $y$ a los kilos de café brasileño y $z$ a los kilos de café keniata.

Supongamos que hacemos 100 kg de café con la mezcla pedida $\Rightarrow$ $x+y+z=100$.
El precio de la mezcla es 8,5 €/kg, el café colombiano a 10 €/kg, a 6 €/kg el brasileño y a 8 €/kg el keniata
$\Rightarrow$ $10x+6y+8z=\mathrm{8,5}\cdot 100$.
La cantidad de café colombiano de la mezcla ha de ser el triple de la de café brasileño
$\Rightarrow$ $x=3y$.

Juntamos las tres ecuaciones en un sistema y lo resolvemos: $\{\begin{array}{l}x+y+z=100\\ 10x+6y+8z=850\\ x=3y\end{array}$$\Rightarrow$Sustituimos $x=3y$: $\{\begin{array}{l}3y+y+z=100\\ 30y+6y+8z=850\end{array}$$\Rightarrow$$\{\begin{array}{l}4y+z=100\\ 36y+8z=850\end{array}$

De la primera, $z=100-4y$. Sustituimos: $36y+8(100-4y)=850$

$36y+800-32y=850\Rightarrow 4y=50\Rightarrow y=\mathrm{12,5}$

Entonces:$\{\begin{array}{l}z=100-4\cdot \mathrm{12,5}=50\\ x=3\cdot \mathrm{12,5}=\mathrm{37,5}\end{array}$

La solución del sistema es $x=\mathrm{37,5};y=\mathrm{12,5};z=50$.

Los porcentajes de cada café en la mezcla son 37,5 % de café colombiano, 12,5 % de café brasileño y 50 % de café keniata.

De 8 partes se echan 4 de café keniata, 3 de café colombiano y 1 de café brasileño.