Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

B.1. ( 2 puntos)

Se considera el sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro $a\in \mathbb{R}:$

$\{\begin{array}{l}x-ay=1\\ ax-4y-z=2\\ 2x+ay-z=a-4\end{array}$

a) Discuta el sistema para los diferentes valores de $a\mathrm{.}$
b) Resuelva el sistema para $a=3.$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Discuta}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{diferentes}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{a}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Escribimos la matriz de coeficientes y la ampliada y aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius. Los valores que anulan el determinante separan los casos.

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& -a& 0\\ a& -4& -1\\ 2& a& -1\end{array}\right),A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& -a& 0& 1\\ a& -4& -1& 2\\ 2& a& -1& a-4\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=1(4+a)+a(-a+2)=-a^2+3a+4=-(a-4)(a+1)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\Rightarrow a=4\text{o}a=-1$

Si $a\mathrm{\ne }4$ y $a\mathrm{\ne }-1$, se cumple $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=3$, igual al número de incógnitas, y el sistema es compatible determinado.

Si $a=4$, restamos la segunda ecuación de la tercera.

$\{\begin{array}{l}x-4y=1\\ 4x-4y-z=2\\ 2x+4y-z=0\end{array}\Rightarrow E_3-E_2:-2x+8y=-2\Rightarrow x-4y=1$

La combinación reproduce exactamente la primera ecuación, así que la tercera es dependiente de las otras dos. El menor $\mid \begin{array}{cc}1& -4\\ 4& -4\end{array}\mid =12\mathrm{\ne }0$ garantiza que $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=2<3$ y el sistema es compatible indeterminado.

Si $a=-1$, hacemos la misma resta.

$\{\begin{array}{l}x+y=1\\ -x-4y-z=2\\ 2x-y-z=-5\end{array}\Rightarrow E_3-E_2:3x+3y=-7\Rightarrow x+y=-{\displaystyle \frac{7}{3}}$

Esta ecuación contradice a la primera, de modo que $\mathrm{rg}(A)=2$ y $\mathrm{rg}(A^{\ast })=3$ y el sistema es incompatible.

El sistema es compatible determinado si $a\mathrm{\ne }4$ y $a\mathrm{\ne }-1$, compatible indeterminado si $a=4$ e incompatible si $a=-1$.



Para $a=3$ el sistema es compatible determinado, así que tiene solución única. Lo resolvemos por sustitución.

$\{\begin{array}{l}x-3y=1\\ 3x-4y-z=2\\ 2x+3y-z=-1\end{array}$

De la primera ecuación, $x=1+3y$. Sustituimos en la segunda y en la tercera.

$3(1+3y)-4y-z=2\Rightarrow 5y-z=-1\Rightarrow z=5y+1$

$2(1+3y)+3y-(5y+1)=-1\Rightarrow 4y+1=-1\Rightarrow y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

Deshacemos las sustituciones.

$x=1+3(-{\displaystyle \frac{1}{2}})=-{\displaystyle \frac{1}{2}},z=5(-{\displaystyle \frac{1}{2}})+1=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$

La solución del sistema para $a=3$ es $x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$, $y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$, $z=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$.