Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

B.1. (2 puntos)

Se considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real

$\alpha$: $\{\begin{array}{l}\alpha x+y+2z=1\\ x+\alpha y+2z=\alpha \\ x+y+\alpha z=1\end{array}$

a) Discuta el sistema en función de los valores del parámetro $\alpha$.
b) Resuelva el sistema de ecuaciones para $\alpha =0$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Discuta}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{\alpha }\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Escribimos la matriz de coeficientes y discutimos por el teorema de Rouché-Frobenius; los valores que anulan el determinante separan los casos.

$A=\left(\begin{array}{ccc}\alpha & 1& 2\\ 1& \alpha & 2\\ 1& 2& \alpha \end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }={\alpha }^3-7\alpha +6=(\alpha -1)(\alpha -2)(\alpha +3)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\Rightarrow \alpha =1,\alpha =2,\alpha =-3$

Si $\alpha$ no toma ninguno de esos tres valores, $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=3$, igual al número de incógnitas, y el sistema es compatible determinado.

Si $\alpha =1$, la primera y la segunda ecuación son idénticas, también en el término independiente.

$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 2& 1\\ 1& 1& 2& 1\\ 1& 2& 1& 1\end{array}\right)\Rightarrow \mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=2<3$

El sistema es compatible indeterminado.

Si $\alpha =2$, la segunda y la tercera ecuación tienen los mismos coeficientes pero distinto término independiente.

$\left(\begin{array}{cccc}2& 1& 2& 1\\ 1& 2& 2& 2\\ 1& 2& 2& 1\end{array}\right)\Rightarrow \mathrm{rg}(A)=2\mathrm{\ne }3=\mathrm{rg}(A^{\ast })$

El sistema es incompatible.

Si $\alpha =-3$ se llega a la misma situación, con el rango de la ampliada mayor que el de la matriz de coeficientes, así que el sistema también es incompatible.

El sistema es compatible determinado si $\alpha \mathrm{\ne }1,2,-3$, compatible indeterminado si $\alpha =1$ e incompatible si $\alpha =2$ o $\alpha =-3$.



Para $\alpha =0$ el sistema es compatible determinado, así que tiene solución única.

$\{\begin{array}{l}y+2z=1\\ x+2z=0\\ x+2y=1\end{array}$

De la segunda ecuación despejamos $x=-2z$ y de la primera $y=1-2z$, y llevamos ambas a la tercera.

$-2z+2(1-2z)=1\Rightarrow -6z=-1\Rightarrow z={\displaystyle \frac{1}{6}}$

$y=1-{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{2}{3}},x=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$

La solución para $\alpha =0$ es $x=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$, $y={\displaystyle \frac{2}{3}}$, $z={\displaystyle \frac{1}{6}}$.