Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

7. (2 puntos)

Se considera el sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro $a\in \mathbb{R}:$

$\{\begin{array}{l}2x+y+z=a\\ x+ay+z=a+1\\ x+y+az=2\end{array}$

a) Discuta el sistema en función de los valores del parámetro $a$.
b) Resuelva el sistema de ecuaciones para $a=1$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Discuta}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{a}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Escribimos la matriz de coeficientes y la ampliada y discutimos por el teorema de Rouché-Frobenius.

$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& a& 1\\ 1& 1& a\end{array}\right),A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}2& 1& 1& a\\ 1& a& 1& a+1\\ 1& 1& a& 2\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=2a^2+1+1-a-a-2=2a^2-2a=2a(a-1)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\Rightarrow a=0\text{o}a=1$

Si $a\mathrm{\ne }0$ y $a\mathrm{\ne }1$, entonces $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=3$, igual al número de incógnitas, y el sistema es compatible determinado.

Si $a=0$, restamos la segunda ecuación de la tercera para ver qué queda.

$\{\begin{array}{l}2x+y+z=0\\ x+z=1\\ x+y=2\end{array}\Rightarrow E_2+E_3-E_1:0=3$

La combinación produce una igualdad imposible, así que $\mathrm{rg}(A)=2$ y $\mathrm{rg}(A^{\ast })=3$: el sistema es incompatible.

Si $a=1$, la segunda y la tercera ecuación coinciden.

$\{\begin{array}{l}2x+y+z=1\\ x+y+z=2\\ x+y+z=2\end{array}$

Queda una ecuación repetida, de modo que $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=2<3$ y el sistema es compatible indeterminado.

El sistema es compatible determinado si $a\mathrm{\ne }0$ y $a\mathrm{\ne }1$, incompatible si $a=0$ y compatible indeterminado si $a=1$.



Para $a=1$ el sistema es compatible indeterminado, así que dejamos una incógnita libre. Restando la segunda ecuación de la primera desaparecen $y$ y $z$.

$\{\begin{array}{l}2x+y+z=1\\ x+y+z=2\end{array}\Rightarrow x=1-2=-1$

Sustituimos en la segunda ecuación.

$-1+y+z=2\Rightarrow y+z=3$

Tomamos $y=\lambda$ como parámetro.

$(x,y,z)=(-1,\lambda ,3-\lambda ),\lambda \in \mathbb{R}$

Para $a=1$ el sistema tiene infinitas soluciones, una por cada valor real de $\lambda$.