Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

A.1 [hasta 2,5 puntos]
En un examen de matemáticas que constaba de tres problemas, Aitor obtuvo una calificación total de 7,2 puntos.
La puntuación obtenida en el primer problema fue un 40 % más que la obtenida en el segundo, y la del tercero fue el doble de la suma de las puntuaciones obtenidas en el primero y en el segundo.
¿Cuál fue la puntuación obtenida por Aitor en cada problema?

Se traduce el enunciado al lenguaje algebraico llamando a cada incógnita por la puntuación de cada problema.

$x=\text{puntuaci}\acute{\text{o}}\text{n del primer problema}$

$y=\text{puntuaci}\acute{\text{o}}\text{n del segundo problema}$

$z=\text{puntuaci}\acute{\text{o}}\text{n del tercer problema}$

La primera condición es la calificación total. La segunda dice que el primer problema vale un $40\mathrm{\%}$ más que el segundo, es decir, $\mathrm{1,4}$ veces el segundo. La tercera, que el tercero es el doble de la suma de los dos primeros.

$\{\begin{array}{l}x+y+z=\mathrm{7,2}\\ x=\mathrm{1,4}y\\ z=2(x+y)\end{array}$

Como las dos últimas ecuaciones ya dan $x$ y $z$ en función de las demás, se resuelve por sustitución. Primero se lleva $x=\mathrm{1,4}y$ a la tercera ecuación:

$z=2(\mathrm{1,4}y+y)=2\cdot \mathrm{2,4}y=\mathrm{4,8}y$

Ahora se sustituyen $x$ y $z$ en la primera:

$\mathrm{1,4}y+y+\mathrm{4,8}y=\mathrm{7,2}\Rightarrow \mathrm{7,2}y=\mathrm{7,2}\Rightarrow y=1$

Se deshacen las sustituciones:

$x=\mathrm{1,4}\cdot 1=\mathrm{1,4};z=\mathrm{4,8}\cdot 1=\mathrm{4,8}$

Se comprueba la solución en las tres condiciones de partida:

$\{\begin{array}{l}\mathrm{1,4}+1+\mathrm{4,8}=\mathrm{7,2}\text{ puntos}\\ \mathrm{1,4}=\mathrm{1,4}\cdot 1\\ \mathrm{4,8}=2(\mathrm{1,4}+1)=2\cdot \mathrm{2,4}\end{array}$

Aitor obtuvo $\mathrm{1,4}$ puntos en el primer problema, $1$ punto en el segundo y $\mathrm{4,8}$ puntos en el tercero.