Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

1. Un inversor ha obtenido un beneficio de 1280 euros después de invertir un total de 22000 euros en dos empresas distintas. Estos beneficios se desglosan como sigue: la cantidad invertida en la primera empresa le ha proporcionado un m % de beneficios y la cantidad invertida en la segunda empresa le ha proporcionado un 6 % de beneficios.\n a) [0,5 puntos] Plantea un sistema de ecuaciones (en función de m) donde las incógnitas x y y sean la cantidad invertida en cada una de las dos empresas.\n b) [2 puntos] Basándote en un estudio de la compatibilidad del sistema anterior, ¿es posible que los beneficios para la primera empresa sean del 4 %? Resuelve el sistema si se supone que ese es realmente el porcentaje de beneficio para lo invertido en la primera empresa. En ese caso, ¿cuál fue la cantidad invertida en cada una de las dos empresas?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Plantea}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{(en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{m)}}\mathbf{\text{donde}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{inc}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{gnitas}}\mathbf{\text{x}}\mathbf{\text{e}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{sean}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cantidad}}\mathbf{\text{invertida}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{empresas.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se llama $x$ a los euros invertidos en la primera empresa e $y$ a los de la segunda. La primera ecuación reparte el capital y la segunda, los beneficios:

$\{\begin{array}{rcrcl}x& +& y& =& 22000\\ {\displaystyle \frac{m}{100}}x& +& \mathrm{0,06}y& =& 1280\end{array}$

Multiplicando la segunda por 100 queda más cómoda de manejar:

$\{\begin{array}{rcrcl}x& +& y& =& 22000\\ mx& +& 6y& =& 128000\end{array}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Bas}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ndote}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{estudio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{compatibilidad}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{anterior,}}\mathbf{\text{¿es}}\mathbf{\text{posible}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{beneficios}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{primera}}\mathbf{\text{empresa}}\mathbf{\text{sean}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{4\%?}}\mathbf{\text{Resuelve}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{supone}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{realmente}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{porcentaje}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{lo}}\mathbf{\text{invertido}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{primera}}\mathbf{\text{empresa.}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{caso,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{fue}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cantidad}}\mathbf{\text{invertida}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{empresas?}}\mathbf{\text{[2}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El determinante de la matriz de coeficientes es

$\mid \begin{array}{cc}1& 1\\ m& 6\end{array}\mid =6-m$

que se anula solo para $m=6$. Hay dos casos.

$\mathbf{\text{Si}}m\mathrm{\ne }6$: el sistema es compatible determinado y la solución es única.

$\mathbf{\text{Si}}m=6$: la segunda ecuación pasa a ser $6x+6y=128000$, es decir, $x+y=21\mathrm{333,3}\dots$, que contradice a la primera. El sistema es incompatible: con las dos empresas al 6 % los 22 000 euros habrían dado 1320 euros, no 1280.

Un beneficio del 4 % en la primera empresa significa $m=4$, y como $4\mathrm{\ne }6$ el sistema es compatible determinado: $\mathbf{\text{s}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{posible}}$, y además la solución es única.

Se resuelve el sistema

$\{\begin{array}{rcrcl}x& +& y& =& 22000\\ 4x& +& 6y& =& 128000\end{array}$

Dividiendo la segunda entre 2 y despejando $x=22000-y$ en la primera:

$2(22000-y)+3y=64000⟹44000+y=64000⟹y=20000$

$x=22000-20000=2000$

Se invirtieron $\mathbf{\text{2000}}\mathbf{\text{euros}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{primera}}\mathbf{\text{empresa}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{20}}\mathbf{\text{000}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{segunda}}$. La comprobación cierra:

$\mathrm{0,04}\cdot 2000+\mathrm{0,06}\cdot 20000=80+1200=1280$