Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Cuestión 1. (2,5 puntos) Discutir el sistema lineal de ecuaciones en función de los valores del parámetro $a$:

$\{\begin{array}{l}x+3y+z=5\\ ax+2z=0\\ ay-z=a\end{array}$

Resolverlo para $a=1$.

$\mathbf{\text{Discutir}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{lineal}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{a}\mathbf{\text{.}}$

Se aplica el teorema de Rouché-Frobenius. Se empieza por el determinante de la matriz de coeficientes, desarrollando por la primera columna.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& 3& 1\\ a& 0& 2\\ 0& a& -1\end{array}\mid =(0-2a)-a(-3-a)=a^2+a$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=a(a+1)=0\Rightarrow a=0;a=-1$

Si $a\mathrm{\ne }0$ y $a\mathrm{\ne }-1$, es $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=3=n$ y el sistema es compatible determinado.

Para $a=-1$ el menor $\mid \begin{array}{cc}1& 3\\ -1& 0\end{array}\mid =3\mathrm{\ne }0$ da $\mathrm{rg}(A)=2$, pero al orlarlo con la columna de términos independientes el determinante no se anula.

$\mid \begin{array}{ccc}1& 3& 5\\ -1& 0& 0\\ 0& -1& -1\end{array}\mid =2\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{rg}(A^{\ast })=3$

Para $a=0$ las dos últimas ecuaciones se reducen a $z=0$, de modo que la tercera fila es proporcional a la segunda y ambos rangos valen $2$.

El sistema es compatible determinado si $a\mathrm{\ne }0$ y $a\mathrm{\ne }-1$, incompatible si $a=-1$ y compatible indeterminado si $a=0$.



Como $1$ no es ninguno de los valores críticos, el sistema es compatible determinado, con $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=2$. Se resuelve por la regla de Cramer.

$x={\displaystyle \frac{1}{2}}\mid \begin{array}{ccc}5& 3& 1\\ 0& 0& 2\\ 1& 1& -1\end{array}\mid ={\displaystyle \frac{-4}{2}}=-2$

$y={\displaystyle \frac{1}{2}}\mid \begin{array}{ccc}1& 5& 1\\ 1& 0& 2\\ 0& 1& -1\end{array}\mid ={\displaystyle \frac{4}{2}}=2$

$z={\displaystyle \frac{1}{2}}\mid \begin{array}{ccc}1& 3& 5\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\mid ={\displaystyle \frac{2}{2}}=1$

Para $a=1$ la solución del sistema es $x=-2$, $y=2$, $z=1$.