Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Cuestión 1. (2,5 puntos) Discutir el siguiente sistema lineal de ecuaciones en función de los valores del parámetro $a$:
$\{\begin{array}{l}x+ay+z=1\\ 2y+4z=2\\ x+y+z=1\end{array}$
a) (2 puntos)
Resolverlo para $a=3$. b) (0,5 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Discutir}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{siguiente}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{lineal}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{a}\mathbf{\text{.}}(2\text{ puntos})$

Se aplica el teorema de Rouché-Frobenius. Se empieza por el determinante de la matriz de coeficientes, desarrollando por la primera columna.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& a& 1\\ 0& 2& 4\\ 1& 1& 1\end{array}\mid =\mid \begin{array}{cc}2& 4\\ 1& 1\end{array}\mid +\mid \begin{array}{cc}a& 1\\ 2& 4\end{array}\mid =(2-4)+(4a-2)=4a-4$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=4(a-1)=0\Rightarrow a=1$

Si $a\mathrm{\ne }1$, es $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=3=n$ y el sistema es compatible determinado.

Para $a=1$ el menor $\mid \begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 2\end{array}\mid =2\mathrm{\ne }0$ da $\mathrm{rg}(A)=2$, y la primera y la tercera fila de la ampliada coinciden, de modo que también $\mathrm{rg}(A^{\ast })=2$.

El sistema es compatible determinado si $a\mathrm{\ne }1$ y compatible indeterminado si $a=1$, con infinitas soluciones dependientes de un parámetro.



Como $3\mathrm{\ne }1$, el sistema es compatible determinado y $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=4\cdot 3-4=8$. Se resuelve por la regla de Cramer.

$x={\displaystyle \frac{1}{8}}\mid \begin{array}{ccc}1& 3& 1\\ 2& 2& 4\\ 1& 1& 1\end{array}\mid ={\displaystyle \frac{4}{8}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$

$y={\displaystyle \frac{1}{8}}\mid \begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 2& 4\\ 1& 1& 1\end{array}\mid ={\displaystyle \frac{0}{8}}=0$

$z={\displaystyle \frac{1}{8}}\mid \begin{array}{ccc}1& 3& 1\\ 0& 2& 2\\ 1& 1& 1\end{array}\mid ={\displaystyle \frac{4}{8}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$

Para $a=3$ la solución única del sistema es $x={\displaystyle \frac{1}{2}}$, $y=0$, $z={\displaystyle \frac{1}{2}}$.