Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Ejercicio 2 (2,5 puntos). Responda únicamente a una de las dos preguntas, o bien 2.1 o 2.2.

Pregunta 2.1. Se considera el sistema de ecuaciones dependiente del parámetro real $a$:

$\{\begin{array}{rcl}x+y+z& =& 2\\ 2x-y+z& =& 3\\ (a+1)x+az& =& 5\end{array}$

2.1.a) (1,25 puntos) Discuta el sistema en función de los valores del parámetro real $a$.

2.1.b) (1,25 puntos) Resuelva el sistema para $a=2$.

$\mathbf{\text{2.1.a)}}\mathbf{\text{Discuta}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathbf{\text{real}}\mathit{a}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Escribimos la matriz de coeficientes y discutimos por el teorema de Rouché-Frobenius. El valor que anula el determinante separa los casos.

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& -1& 1\\ a+1& 0& a\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=1(-a-0)-1(2a-(a+1))+1(0+(a+1))=-a-a+1+a+1=2-a$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\Rightarrow a=2$

Si $a\mathrm{\ne }2$, entonces $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$ y $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=3$, igual al número de incógnitas: el sistema es compatible determinado.

Si $a=2$, la tercera fila es la suma de las dos primeras, y el término independiente cumple la misma relación.

$(1,1,1)+(2,-1,1)=(3,0,2),2+3=5$

La tercera ecuación es redundante, así que $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=2<3$ y el sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad.

El sistema es compatible determinado para todo $a\mathrm{\ne }2$ y compatible indeterminado para $a=2$.



Para $a=2$ la tercera ecuación sobra y el sistema se queda con dos ecuaciones y tres incógnitas, así que se resuelve dejando una libre.

$\{\begin{array}{l}x+y+z=2\\ 2x-y+z=3\end{array}$

Tomamos $z=\lambda$ como parámetro y sumamos las dos ecuaciones para eliminar $y$.

$\{\begin{array}{l}x+y=2-\lambda \\ 2x-y=3-\lambda \end{array}\Rightarrow 3x=5-2\lambda \Rightarrow x={\displaystyle \frac{5-2\lambda }{3}}$

$y=2-\lambda -{\displaystyle \frac{5-2\lambda }{3}}={\displaystyle \frac{6-3\lambda -5+2\lambda }{3}}={\displaystyle \frac{1-\lambda }{3}}$

$(x,y,z)=({\displaystyle \frac{5-2\lambda }{3}},{\displaystyle \frac{1-\lambda }{3}},\lambda ),\lambda \in \mathbb{R}$

Para $a=2$ el sistema tiene infinitas soluciones, una por cada valor real de $\lambda$; por ejemplo, con $\lambda =0$ se obtiene $({\displaystyle \frac{5}{3}},{\displaystyle \frac{1}{3}},0)$, que verifica las dos ecuaciones.