Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

En el instituto de Martín han elaborado tres tipos diferentes de ramos de rosas para vender el día de Sant Jordi. La opción clásica consiste en una rosa y una espiga. La opción de ramo pequeño está formada por tres rosas y dos espigas. Y, finalmente, la opción de ramo grande consiste en media docena de rosas y tres espigas. Todos los ramos (sean de la opción que sean) llevan un bonito envoltorio. Sabemos que se han utilizado 200 rosas, 135 espigas y 85 envoltorios.

a) ¿Cuántos ramos se han elaborado de cada tipo? [1,75 puntos]

b) Si el precio de venta de un ramo de la opción clásica es de 3 euros, el de un ramo pequeño es de 5 euros y el de un ramo grande es de 10 euros, ¿cuánto dinero se ingresará si se venden todos? [0,75 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{ramos}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{han}}\mathbf{\text{elaborado}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{tipo?}}\mathbf{\text{(1,75}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Llamamos $x$ al número de ramos de la opción clásica, $y$ al de ramos pequeños y $z$ al de ramos grandes. Hacemos una tabla para ordenar toda la información del ejercicio.

$$	$\text{Rosas}$	$\text{Espigas}$	$\text{Envoltorios}$ Clásico (x)	x	x	x Pequeño (y)	3y	2y	y Grande (z)	6z	3z	z Totales	x + 3y + 6z	x + 2y + 3z	x + y + z

Media docena de rosas son 6 rosas. Traducimos a ecuaciones los tres totales del enunciado.

$\{\begin{array}{l}x+3y+6z=200\\ x+2y+3z=135\\ x+y+z=85\end{array}$

Restamos la tercera ecuación de la segunda y la segunda de la primera para eliminar $x$:

$(x+2y+3z)-(x+y+z)=135-85\Rightarrow y+2z=50$

$(x+3y+6z)-(x+2y+3z)=200-135\Rightarrow y+3z=65$

Restando ahora estas dos ecuaciones:

$z=65-50=15\Rightarrow y=50-2\cdot 15=20$

$x=85-20-15=50$

Comprobamos el resultado con las rosas y las espigas:

$50+3\cdot 20+6\cdot 15=50+60+90=200$

$50+2\cdot 20+3\cdot 15=50+40+45=135$

Se han elaborado $50$ ramos de la opción clásica, $20$ ramos pequeños y $15$ ramos grandes.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{venta}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{ramo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{opci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{cl}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{sica}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{3}\mathbf{\text{euros,}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{ramo}}\mathbf{\text{peque}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{5}\mathbf{\text{euros}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{ramo}}\mathbf{\text{grande}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<mn\; mathvariant="bold">10</mn>}\mathbf{\text{euros,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{dinero}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{ingresar}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{venden}}\mathbf{\text{todos?}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}$

El ingreso total es la suma de los ramos de cada tipo multiplicados por su precio.

$I=3x+5y+10z$

$I=3\cdot 50+5\cdot 20+10\cdot 15=150+100+150=400$

Si se venden todos los ramos se ingresarán $400$ €.