Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

En una fábrica textil fabricamos vestidos, camisetas y faldas.

— Cada vestido requiere 5 ${\text{m}}^2$ de tejido y 5 botones.

— Cada camiseta requiere 4 ${\text{m}}^2$ de tejido y 3 botones.

— Cada falda requiere 4 ${\text{m}}^2$ de tejido y ningún botón.

a) Si queremos fabricar 10 vestidos, 15 camisetas y 20 faldas, ¿cuántos ${\text{m}}^2$ de tejido y cuántos botones necesitamos? [0,5 puntos]

b) Resuelva el sistema de ecuaciones siguiente:

$\left(\begin{array}{ccc}5& 4& 4\\ 5& 3& 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}100\\ 120\end{array}\right)\mathrm{.}$

[1,5 puntos]

c) Si disponemos de 100 ${\text{m}}^2$ de tejido y 120 botones, ¿podemos utilizar completamente los recursos fabricando productos? [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{queremos}}\mathbf{\text{fabricar}}\mathbf{\text{10}}\mathbf{\text{vestidos,}}\mathbf{\text{15}}\mathbf{\text{camisetas}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{20}}\mathbf{\text{faldas,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathrm{<msup><mtext>m</mtext><mn\; mathvariant="bold">2</mn></msup>}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tejido}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{botones}}\mathbf{\text{necesitamos?}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Ordenamos primero el consumo de cada prenda en una tabla.

$$	${\text{Tejido (m}}^2)$	$\text{Botones}$ Vestidos	5	5 Camisetas	4	3 Faldas	4	0

Basta multiplicar el número de prendas de cada clase por lo que consume cada una y sumar.

$\text{Tejido}=10\cdot 5+15\cdot 4+20\cdot 4=50+60+80=190{\text{m}}^2$

$\text{Botones}=10\cdot 5+15\cdot 3+20\cdot 0=50+45+0=95\text{ botones}$

Para fabricar 10 vestidos, 15 camisetas y 20 faldas se necesitan 190 m² de tejido y 95 botones.



Desarrollamos el producto de matrices para escribir el sistema en la forma habitual.

$\{\begin{array}{l}5x+4y+4z=100\\ 5x+3y=120\end{array}$

Hay tres incógnitas y solo dos ecuaciones, luego el sistema no puede tener solución única. Se resuelve por reducción: restamos la segunda ecuación de la primera para eliminar $x$.

$(5x+4y+4z)-(5x+3y)=100-120\Rightarrow y+4z=-20$

$y=-20-4z$

Sustituimos en la segunda ecuación y despejamos $x$.

$5x+3(-20-4z)=120\Rightarrow 5x-60-12z=120\Rightarrow 5x=180+12z$

$x=36+{\displaystyle \frac{12z}{5}}$

La incógnita $z$ queda libre. Llamándola $z=\lambda$, la solución del sistema es

$\{\begin{array}{l}x=36+{\displaystyle \frac{12\lambda }{5}}\\ y=-20-4\lambda \\ z=\lambda \end{array}\lambda \in \mathbb{R}$

Se trata de un sistema compatible indeterminado con un grado de libertad: hay infinitas soluciones, una por cada valor de $\lambda$. Comprobamos, por ejemplo, con $\lambda =0$, que da $(36,-20,0)$:

$5\cdot 36+4\cdot (-20)+4\cdot 0=180-80=100$ y $5\cdot 36+3\cdot (-20)=180-60=120$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{disponemos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{100}}\mathrm{<msup><mtext>m</mtext><mn\; mathvariant="bold">2</mn></msup>}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tejido}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{120}}\mathbf{\text{botones,}}\mathbf{\text{¿podemos}}\mathbf{\text{utilizar}}\mathbf{\text{completamente}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{recursos}}\mathbf{\text{fabricando}}\mathbf{\text{productos?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Si $x$, $y$ y $z$ son el número de vestidos, camisetas y faldas que se fabrican, agotar los recursos es exactamente el sistema del apartado b): el tejido consumido, $5x+4y+4z$, debe ser 100 m², y los botones consumidos, $5x+3y$, deben ser 120.

El sistema tiene infinitas soluciones, pero no todas sirven: el número de prendas de cada clase tiene que ser un número entero mayor o igual que cero. Miramos la segunda coordenada de la solución general.

$y=-20-4\lambda \text{con}\lambda =z\ge 0$

$z\ge 0\Rightarrow -4z\le 0\Rightarrow y=-20-4z\le -20<0$

Sea cual sea el número de faldas que se fabriquen, el número de camisetas sale negativo, y eso no tiene sentido. Por tanto, no existe ninguna solución válida.

No se pueden aprovechar completamente los recursos: con 100 m² de tejido y 120 botones el sistema exige fabricar un número negativo de camisetas. El motivo es que los 120 botones obligan a producir muchos vestidos y camisetas, que son las prendas que llevan botones, y esas prendas por sí solas ya consumirían más de los 100 m² de tejido disponibles.