Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Una empresa está considerando la fabricación de tres tipos de armarios diferentes, $A$, $B$ y $C$. Dispone de metal y madera.

— Para fabricar cada unidad del modelo $A$ se requieren 5 kg de metal y 5 horas de trabajo de un operario (no se requiere madera).

— Por unidad del modelo $B$, 10 kg de metal, 10 kg de madera y 10 horas de trabajo.

— Por unidad del modelo $C$, 15 kg de metal y 5 horas de trabajo (no se requiere madera).

a) Si queremos producir 10 unidades de cada tipo, ¿cuántos kg de cada material necesitamos? [2 puntos]

b) Si disponemos de 1550 kg de metal, 600 kg de madera y 1050 horas de trabajo de operarios, ¿cuántas unidades de cada tipo hemos de fabricar para utilizar completamente todos los recursos? [4 puntos]

c) Supongamos ahora que disponemos de 1550 kg de metal, toda la madera que necesitemos (sin límite) y 1050 horas de trabajo, pero que por limitaciones del almacén solo podemos producir 125 unidades en total. En este caso, ¿podemos utilizar completamente el metal, las horas y el almacén? [4 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{queremos}}\mathbf{\text{producir}}\mathbf{\text{10}}\mathbf{\text{unidades}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{tipo,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{kg}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{material}}\mathbf{\text{necesitamos?}}\mathbf{\text{[2}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Ordenamos primero en una tabla lo que consume cada unidad de cada modelo.

$$	$\text{Metal (kg)}$	$\text{Madera (kg)}$	$\text{Horas}$ $\text{Modelo }A$	5	0	5 $\text{Modelo }B$	10	10	10 $\text{Modelo }C$	15	0	5

Con 10 unidades de cada modelo basta multiplicar cada consumo unitario por 10 y sumar por columnas.

$\text{Metal}=10\cdot 5+10\cdot 10+10\cdot 15=50+100+150=300\text{ kg}$

$\text{Madera}=10\cdot 0+10\cdot 10+10\cdot 0=100\text{ kg}$

Para producir 10 unidades de cada tipo se necesitan 300 kg de metal y 100 kg de madera. De paso, harían falta $10\cdot 5+10\cdot 10+10\cdot 5=200$ horas de trabajo.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{disponemos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{1550}}\mathbf{\text{kg}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{metal,}}\mathbf{\text{600}}\mathbf{\text{kg}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{madera}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{1050}}\mathbf{\text{horas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{trabajo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{operarios,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntas}}\mathbf{\text{unidades}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{hemos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{fabricar}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{utilizar}}\mathbf{\text{completamente}}\mathbf{\text{todos}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{recursos?}}\mathbf{\text{[4}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Llamamos $x$ al número de armarios del modelo $A$, $y$ a los del modelo $B$ y $z$ a los del modelo $C$. Utilizar completamente cada recurso significa igualar el consumo a lo disponible, lo que da una ecuación por recurso.

$\{\begin{array}{ll}5x+10y+15z=1550& \text{(metal)}\\ 10y=600& \text{(madera)}\\ 5x+10y+5z=1050& \text{(horas)}\end{array}$

La segunda ecuación es inmediata, porque solo el modelo $B$ lleva madera.

$10y=600\Rightarrow y=60$

Sustituimos $y=60$ en las otras dos y simplificamos dividiendo entre 5.

$5x+600+15z=1550\Rightarrow 5x+15z=950\Rightarrow x+3z=190$

$5x+600+5z=1050\Rightarrow 5x+5z=450\Rightarrow x+z=90$

Restamos la segunda de la primera para eliminar $x$.

$(x+3z)-(x+z)=190-90\Rightarrow 2z=100\Rightarrow z=50$

$x+z=90\Rightarrow x=90-50=40$

Comprobamos las tres ecuaciones con $(x,y,z)=(40,60,50)$.

$5\cdot 40+10\cdot 60+15\cdot 50=200+600+750=1550$

$10\cdot 60=600$

$5\cdot 40+10\cdot 60+5\cdot 50=200+600+250=1050$

Hay que fabricar 40 armarios del modelo $A$, 60 del modelo $B$ y 50 del modelo $C$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Supongamos}}\mathbf{\text{ahora}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{disponemos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{1550}}\mathbf{\text{kg}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{metal,}}\mathbf{\text{toda}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{madera}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{necesitemos}}\mathbf{\text{(sin}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{mite)}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{1050}}\mathbf{\text{horas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{trabajo,}}\mathbf{\text{pero}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{limitaciones}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{almac}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{solo}}\mathbf{\text{podemos}}\mathbf{\text{producir}}\mathbf{\text{125}}\mathbf{\text{unidades}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{total.}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{caso,}}\mathbf{\text{¿podemos}}\mathbf{\text{utilizar}}\mathbf{\text{completamente}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{metal,}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{horas}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{almac}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{n?}}\mathbf{\text{[4}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Ahora la madera deja de imponer condición, y en su lugar aparece la del almacén: el total de unidades ha de ser 125.

$\{\begin{array}{ll}5x+10y+15z=1550& \text{(metal)}\\ 5x+10y+5z=1050& \text{(horas)}\\ x+y+z=125& \text{(almac}\acute{\text{e}}\text{n)}\end{array}$

Restando la segunda ecuación de la primera se van $x$ e $y$ de golpe.

$(5x+10y+15z)-(5x+10y+5z)=1550-1050\Rightarrow 10z=500\Rightarrow z=50$

Sustituimos $z=50$ en las otras dos ecuaciones.

$5x+10y+250=1050\Rightarrow 5x+10y=800\Rightarrow x+2y=160$

$x+y+50=125\Rightarrow x+y=75$

Restamos y despejamos.

$(x+2y)-(x+y)=160-75\Rightarrow y=85$

$x+y=75\Rightarrow x=75-85=-10$

El sistema es compatible determinado y tiene una única solución, $(x,y,z)=(-10,85,50)$, pero esa solución no sirve: no se pueden fabricar $-10$ armarios del modelo $A$.

No es posible utilizar completamente los tres recursos a la vez. Matemáticamente el sistema tiene solución, pero exige un número negativo de armarios del modelo $A$, y el número de unidades fabricadas debe ser mayor o igual que cero.