Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Problema 2.

En una empresa de 57 trabajadores el gasto en salarios en este mes ha sido de 62000 euros. En la empresa hay trabajadores de tres categorías, denominadas A, B y C. Este mes el salario de los trabajadores de la categoría A ha sido de 800 euros, el de los trabajadores de la categoría B de 1000 euros y el de los trabajadores de la categoría C de 2000 euros. Una auditoría externa ha indicado que la desigualdad salarial entre los trabajadores de la empresa es excesiva, por lo que se ha decidido que el próximo mes se incrementará en un 4% el salario a los trabajadores de la categoría A, se mantendrá el salario a los trabajadores de la categoría B y se rebajará en un 10% el salario a los trabajadores de la categoría C. De esta manera, el gasto de la empresa en salarios en el próximo mes será un 2% inferior al gasto en salarios de este mes. ¿Cuántos trabajadores de cada categoría tiene la empresa?

(Planteamiento correcto 5 puntos --- Resolución correcta 5 puntos)

$\mathbf{\text{Problema}}\mathbf{\text{2.}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{empresa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{57}}\mathbf{\text{trabajadores}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{gasto}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{salarios}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{mes}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{sido}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{62000}}\mathbf{\text{euros.}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{trabajadores}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tres}}\mathbf{\text{categor}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{as,}}\mathbf{\text{denominadas}}\mathit{A}\mathbf{\text{,}}\mathit{B}\mathbf{\text{y}}\mathit{C}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{Este}}\mathbf{\text{mes}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{salario}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{trabajadores}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{categor}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathit{A}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{sido}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{800}}\mathbf{\text{euros,}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{trabajadores}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{categor}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathit{B}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{1000}}\mathbf{\text{euros}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{trabajadores}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{categor}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathit{C}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{2000}}\mathbf{\text{euros.}}\mathbf{\text{Una}}\mathbf{\text{auditor}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{externa}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{indicado}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{desigualdad}}\mathbf{\text{salarial}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{trabajadores}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{excesiva,}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{lo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{decidido}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{pr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{mes}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{incrementar}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{4\%}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{salario}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{trabajadores}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{categor}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathit{A}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{mantendr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{salario}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{trabajadores}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{categor}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathit{B}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{rebajar}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{10\%}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{salario}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{trabajadores}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{categor}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathit{C}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{De}}\mathbf{\text{esta}}\mathbf{\text{manera,}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{gasto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{salarios}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{pr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{mes}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{2\%}}\mathbf{\text{inferior}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{gasto}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{salarios}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{mes.}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{trabajadores}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{categor}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa?}}$
$\mathbf{\text{(Planteamiento}}\mathbf{\text{correcto}}\mathbf{\text{5}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{—}}\mathbf{\text{Resoluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{correcta}}\mathbf{\text{5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Llamamos $x$ al número de trabajadores de categoría A, $y$ a los de categoría B y $z$ a los de categoría C.

Es una empresa de 57 trabajadores $\Rightarrow$ $x+y+z=57$.

El gasto en salarios en este mes ha sido de 62000 euros, siendo el salario de los trabajadores de la categoría A de 800 euros, el de los trabajadores de la categoría B de 1000 euros y el de los trabajadores de la categoría C de 2000 euros”
$800x+1000y+2000z=62000$.

Como el próximo mes se incrementará en un 4% el salario a los trabajadores de la categoría A, el nuevo salario es de $800\cdot \mathrm{1,04}=832$ euros, se mantendrá el salario a los trabajadores de la categoría B y el 10% del salario de la categoría C será de 2000 · 0,90 = 1800 euros y con este cambio el gasto en salarios bajará un 2% por lo que es 62000 · 0,98 = 60760 euros”
$832x+1000y+1800z=60760$.

Reunimos las ecuaciones en un sistema y resolvemos:

$\{\begin{array}{l}x+y+z=57\\ 800x+1000y+2000z=62000\\ 832x+1000y+1800z=60760\end{array}$

Restamos la primera ecuación multiplicada convenientemente y simplificamos:

$\{\begin{array}{l}x+y+z=57\\ 4x+5y+10z=310\\ 104x+125y+225z=7595\end{array}$

Sustituimos $x=57-y-z$:

$\{\begin{array}{l}4(57-y-z)+5y+10z=310\\ 104(57-y-z)+125y+225z=7595\end{array}$

Desarrollamos:

$\{\begin{array}{l}228-4y-4z+5y+10z=310\\ 5928-104y-104z+125y+225z=7595\end{array}$

Simplificando:

$\{\begin{array}{l}y+6z=82\\ 21y+121z=1667\end{array}$

Despejamos $y=82-6z$ y sustituimos:

$21(82-6z)+121z=1667$

$1722-126z+121z=1667\Rightarrow 5z=55\Rightarrow z=11$.

Entonces:

$y=82-66=16$
$x=57-16-11=30$.

En la empresa hay 30 trabajadores de la categoría A, 16 de B y 11 de C.