Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Problema 1.

Una agencia inmobiliaria tiene tres locales en alquiler, por los que ha cobrado en total 1650 euros en este mes. La agencia ha pagado al propietario del primer local el 95% de la cantidad que ha cobrado por su alquiler; al propietario del segundo local, el 90% de la cantidad que ha cobrado por su alquiler; y al propietario del tercer local, el 80% de la cantidad que ha cobrado por su alquiler. Tras estos tres pagos, a la agencia le han quedado 132 euros de ganancia. Se sabe también que el alquiler que se cobra por el primer local es el doble de la suma de lo que se cobra por el alquiler de los otros dos locales juntos. ¿Cuántos euros cobra la agencia por cada uno de los tres locales que tiene en alquiler?
(Planteamiento correcto 5 puntos – Resolución correcta 5 puntos)

$Llamamosalasvariables:\{\begin{array}{l}x=\text{cantidad cobrada por el local 1}\\ y=\text{cantidad cobrada por el local 2}\\ z=\text{cantidad cobrada por el local 3}\end{array}$

$\{\begin{array}{l}x+y+z=1650\\ 0.05x+0.14y+0.12z=132\\ x=2(y+z)\end{array}$

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0.05& 0.14& 0.12\\ 1& -2& -2\end{array}\right)$

$\det (A)=\mid \begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0.05& 0.14& 0.12\\ 1& -2& -2\end{array}\mid =0.3$

$\mathrm{rg}(A)=3=\mathrm{rg}(A^{\ast })\Rightarrow \text{Teorema de Rouch}\acute{\text{e}}\text{–Frobenius}\Rightarrow \text{sistema compatible determinado}$

Aplicamos la regla de Cramer:

$x=\frac{\mid \begin{array}{ccc}1650& 1& 1\\ 132& 0.14& 0.12\\ 0& -2& -2\end{array}\mid }{0.3}=\frac{330}{0.3}=1100\text{€}$

$y=\frac{\mid \begin{array}{ccc}1& 1650& 1\\ 0.05& 132& 0.12\\ 1& 0& -2\end{array}\mid }{0.3}=\frac{99}{0.3}=330\text{€}$

$z=\frac{\mid \begin{array}{ccc}1& 1& 1650\\ 0.05& 0.14& 132\\ 1& -2& 0\end{array}\mid }{0.3}=\frac{66}{0.3}=220\text{€}$