Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

B. 1. (Calificación máxima: 2 puntos)

Se considera el sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$:

$\{\begin{array}{l}x+y-z=-1\\ x-y+a^{2}z=3\\ 2x-y+z=4\end{array}$

a) Discuta el sistema en función de los valores del parámetro $a$.
b) Resuelva el sistema para $a=1$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Discuta}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{a}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Escribimos la matriz de coeficientes y la ampliada y discutimos por el teorema de Rouché-Frobenius.

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 1& -1& a^2\\ 2& -1& 1\end{array}\right),A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& -1& -1\\ 1& -1& a^2& 3\\ 2& -1& 1& 4\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=3a^2-3=3(a^2-1)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\Rightarrow a=1\text{o}a=-1$

Si $a\mathrm{\ne }1$ y $a\mathrm{\ne }-1$, entonces $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=3$, igual al número de incógnitas, y el sistema es compatible determinado.

Si $a=\pm 1$, el parámetro aparece elevado al cuadrado y el sistema es el mismo en los dos casos. Restando la primera ecuación de la segunda y el doble de la primera de la tercera:

$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& -1& -1\\ 0& -2& 2& 4\\ 0& -3& 3& 6\end{array}\right)$

La tercera fila es ${\displaystyle \frac{3}{2}}$ veces la segunda, así que $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=2<3$ y el sistema es compatible indeterminado.

El sistema es compatible determinado si $a\mathrm{\ne }\pm 1$ y compatible indeterminado si $a=1$ o $a=-1$.



Para $a=1$ el sistema es compatible indeterminado y se reduce a dos ecuaciones.

$\{\begin{array}{l}x+y-z=-1\\ -2y+2z=4\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x+y-z=-1\\ z=y+2\end{array}$

Tomamos $y=\lambda$ como parámetro y sustituimos en la primera ecuación.

$x=-1-\lambda +(\lambda +2)=1$

$(x,y,z)=(1,\lambda ,\lambda +2),\lambda \in \mathbb{R}$

Para $a=1$ el sistema tiene infinitas soluciones, todas con $x=1$.